Fórmulas electorales (III)

Vamos a ver nuevos métodos de reparto, no estrictamente proporcionales, que utilizan una sucesión creciente de divisores: $$d_1< d_2 < d_3 < \ldots d_n$$donde n es el número de escaños a repartir. Los votos obtenidos por cada partido son divididos sucesivamente por esos n divisores. Se asignan escaños a las n mayores cantidades obtenidas.
  • Ley de Hill-Huntington:
  • El matemático americano Edward V, Hutington (174-1952)  y el estadístico del U.S. Census Bureau Joseph A. Hill (1860.1938)  idearon una nueva fórmula de reparto mediante divisores. Utilizar como divisores la media geométrica de dos enteros consecutivos:
    $$G(a,b)=\sqrt{a \cdot b}$$
     Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos: $$q_{i,k}=[\frac{v_i}{\sqrt{k_i\cdot (k_i+1)}}],\; k\neq 0,\; q_{i,0}=v_i\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$
     y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.
  • Ley de Dean:
  • James Dean (1776-1849), matemático y profesor de historia natural de la Universidad de Vertmon lo desarrolló en 1832, como alternativa al método de Jefferson, aunque nunca llegó a aplicarse. Utiliza como divisores la media armónica de dos enteros consecutivos:
    $$H(a,b)=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2 \cdot a \cdot b}{a+b+1}$$ quien la propuso unos años antes aunque con alguna pequeña diferencia.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{\frac{2 \cdot k \cdot (k+1)}{2 \cdot k+1}}],\; k\neq 0,\; q_{i,0}=v_i\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$
    y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.
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Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se pueden introducir, en las celdas correspondientes, los votos a cada partido.
  • Con las flechas se puede elegir el número de escaños a repartir.
  • Con las flechas se puede fijar el mínimo de votos  para entrar en el reparto.
  • Pulsando el botón 'Hill-Huntington' o 'Deal' se puede elegir el método de reparto.
  • El botón 'calcular' hace el reparto de escaños.
  • Una tabla muestra los sucesivos cocientes.

Fórmulas electorales (II)

Vamos a ver otros métodos de reparto, no estrictamente proporcionales, que utilizan una sucesión creciente de divisores: $$d_1< d_2 < d_3 < \ldots d_n$$donde n es el número de escaños a repartir. Los votos obtenidos por cada partido son divididos sucesivamente por esos n divisores. Se asignan escaños a las n mayores cantidades obtenidas.
  • Ley D'Hont:
  • Su nombre se debe a Victor D'Hondt (1841-1901), jurista belga que lo propuso en 1878. En realidad este método fue propuesto por Thomas Jefferson (1743-1826), tercer presidente de los Estados Unidos, del que también recibe su nombre, y lo introdujo para el reparto de escaños en los EEUU en 1794.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{k+1}]\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$ y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.
  • Ley de Sainte-Laguë:
  • También conocida por el nombre de Ley de Webster. Aunque introducida por André Sainte-Laguë (1852-1950), matemático francés en 1910, fue Daniel Webster (1782-1852), senador de los EEUU en el siglo XIX, quien la propuso unos años antes aunque con alguna pequeña diferencia.  Se aplica la fórmula a cada uno de los candidatos:$$q_{i,k}=[\frac{v_i}{2k+1}]\; \; \;k=0,1,2, \ldots$$ 
    y los escaños se van asignando a las candidaturas que obtengan los números más altos en estas divisiones, en orden decreciente, hasta completar el total de escaños.
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Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se pueden introducir, en las celdas correspondientes, los votos a cada partido.
  • Con las flechas se puede elegir el número de escaños a repartir.
  • Con las flechas se puede fijar el mínimo de votos  para entrar en el reparto.
  • Pulsando el botón 'D'Hont' o 'Sainte-Laguë' se puede elegir el método de reparto.
  • El botón 'calcular' hace el reparto de escaños.
  • Una tabla muestra los sucesivos cocientes.

Fórmulas electorales (I)

Una fórmula electoral es el cálculo matemático mediante el cual, después de una votación, se distribuyen los escaños de una asamblea en función de los votos del electorado. Las fórmulas electorales se clasifican en dos grandes tipos: mayoritarias y proporcionales o de reparto.
Las formas mayoritarias pretenden la elección de un único candidato, con exclusión de los demás. El candidato ganador es el que obtiene el mayor número votos en relación con sus rivales electorales. Se suelen aplicar en circunscripciones uninominales. Aunque existen distintas variantes, las más conocidas son:
  • Mayoría absoluta:
  • También conocida como Fórmula de Mayoría, el ganador debe alcanzar más del 50% de los votos. No es una fórmula muy utilizada porque aunque da estabilidad, favorece a los partidos mayoritarios pero perjudica a las minorías que difícilmente obtienen representación. En concreto en Francia se establece un mecanismo corrector: Cuando no se alcanza ese porcentaje, se establece una segunda vuelta o ballotage entre los dos candidatos más votados.
  • Mayoría relativa:
  • Conocida también como Fórmula Pluralista, no exige la obtención de mayorías absolutas, sino de mayorías relativas o simples. El porcentaje para obtener la elección aumenta o disminuye en función del número de partidos o candidatos en liza. Cuanto mayor sea el número de éstos, más bajo será el porcentaje necesario para resultar elegido, y al contrario, cuanto más reducido sea el número de candidatos que se presenten, mayor será el porcentaje requerido.
La fórmulas proporcionales tienen como objetivo repartir los escaños de cada circunscripción de manera proporcional a los votos obtenidos por cada partido. Los métodos del Resto Mayor, también conocidos como de Cociente o Cuota utilizan el sistema proporcional para el reparto de escaños. Para los escaños no asignados se utilizan los restos, a los que se les aplica el sistema mayoritario.

Sean n escaños a repartir entre varios partidos y un total de v votos. Se establece un cociente q que indica el número de votos necesarios para obtener un escaño. De esta forma se asignan escaños a cada partido de acuerdo con sus votos obtenidos. Los escaños no asignados se conceden según los restos de cada partido de mayor a menor. Existen tres fórmulas proporcionales:
  • Fórmula Hare: q=v/n
  • Fórmula Droop: q=v/(n+1)
  • Fórmula Imperiali: q=v/(n+2)
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  • Se pueden introducir, en las celdas correspondientes, los votos a cada partido.
  • El botón 'inicio' borra los votos de todos los partidos menos el A.
  • Con las flechas se puede elegir el número de escaños a repartir.
  • El botón 'asignar restos' añade los escaños no asignados.
  • Pulsando el botón 'Hare', 'Droop' o 'Imperiali' se puede elegir el método de reparto.
  • Un gráfico muestra los porcentajes de votos y otro los escaños obtenidos por cada partido.

Teorema de Viviani

En un triángulo equilátero la suma de las tres distancias de un punto interior a los lados del triángulo es una indepenediente de la posición del punto y que coincide con la altura del tríángulo.

Demostración:

El triangulo equilátero ABC se puede descomponer en los triángulos: ADB, BDC y ADC siendo D el punto interior. Si el lado del triángulo es l, la altura h y las distancias de D a los lados d1, d2 y d3, se cumple: $$\frac{l \cdot h}{2}=\frac{l \cdot d_1}{2}+\frac{l \cdot d_2}{2}+\frac{l \cdot d_3}{2}$$ $$h=d_1+d_2+d_3$$ El teorema es generalizable a polígonos regulares.

Sigue la construcción "paso a paso" y desplazando los vertices A y B del triángulo puedes cambiar su tamaño y orientación. Al mover el punto D interior al triángulo se comprueba el teorema de Viviani.

Teorema de Kurschak

Determina el área de un dodecaedro regular a partir de los puntos medios de los lados de un cuadrado. Se debe al matemático húngaro Jozsef Kurschak (1864-1933).
Sobre cada uno de los lados de un cuadrado se construyen 4 triángulos equiláteros interiores.Las 8 intersecciones de los lados de esos triángulos y los 4 puntos medios de los lados del nuevo cuadrado formado por los vértices libres de los triángulos, son los vértices de un dodecaedro regular y pasan por la circunferencia inscrita al cuadrado inicial.
En la construcción se observan dos tipos de pequeños triángulos, unos son equiláteros (E) y otros son isósceles (I).
Se observa que el área del cuadrado está formada por 16 triángulos E y 32 triángulos I. $$A_c=16\cdot E +32\cdot I$$ Por otra parte el área del dodecaedro está formada por 12 triángulos E y 24 triángulos I. $$A_d=12\cdot E +24 \cdot I$$ Por tanto: $$A_d=\frac{3}{4}A_c$$ Si la circunferencia inscrita al cuadrado inicial es unitaria (radio unidad) su área vale pi, el área del cuadrado vale 4 y por tanto el área del dodecaedro vale 3.

Se puede modificar el cuadrado desplazando sus vértices inferiores. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Teorema de Bottama

Un grupo de piratas llega a una isla para enterrar un tesoro. En la isla hay una piedra y dos cocoteros. El capitán manda a dos piratas que partiendo desde la piedra caminen hasta un cocotero cada uno. Al llegar a los cocoteros giran 90º y caminan, alejándose uno del otro, la misma distancia que separa la piedra del cocotero en cada caso. El capitán entierra el tesoro en el punto medio de las posiciones alcanzadas por los piratas. Con el tiempo, los piratas vuelven a por el tesoro y encuentran los cocoteros, pero la piedra ya no estaba. Afortunadamente, el capitán conocía el teorema de Bottema y en pocos minutos señaló el lugar exacto donde estaba enterrado el tesoro.

El teorema afirma lo siguiente:

"Si dibujamos dos cuadrados con un vértice común y trazamos el segmento que une los vértices más distantes, el punto medio de este segmento no depende de la posición del vértice que une dichos cuadrados".

Se pueden modificar las posiciones de la piedra (P), los cocoteros (C) y el tesoro (T). Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Para demostrar el teorema se construye un paralelogramo donde los puntos D y E son las proyecciones de los puntos B y A sobre el segmento que une los puntos donde se sitúan los cocoteros.

T es el punto medio de AB y por tanto TH es la base media del paralelogramo ABDE: $$TH=\frac{BD+AE}{2}$$ Por construcción $$\widehat{BC_2P}=90º$$ y por tanto los ángulos son complementarios: $$BC_2D=90º- PC_2G$$ Se deduce que los triángulos: $$BC_2D \wedge PC_2G$$ son rectángulos e iguales, y por tanto se verifica que: $$BD=C_2G$$ Razonando de manera análoga se cumple que: $$AE=GC_1$$ Sustituyendo en la fórmula inicial: $$TH=\frac{BD+AE}{2}=\frac{C_2G+GC_1}{2}=C_2H=HC_1$$ pues el triángulo rectángulo: $$TC_1C_2$$ es isósceles.Por tanto TH no depende de la posición de P.

Los piratas, partiendo de un punto cualquiera, situado en la zona donde escondieron el tesoro, repiten el proceso y lo encuentran ya que como indica el teorema de Bottema el punto de partida no influye para encontrar el tesoro. Hay una forma más rápida que sería situados un pirata en cada cococtero y girando 45º cada uno hacia la zona del tesoro, avanzar el mismo número de pasos hasta encontrarse y allí estaría el tesoro.

D’Alembert y la divisibilidad

Jean le Ronde d'Alembert junto con Denis Diderot fueron dos figuras decisivas de La Ilustración. A ellos se debe, fundamentalmente, la elaboración y dirección de L'Enciclopédie (1751-1772), obra magna que recogía con una visión laica y basada en la razón, de forma sistemática todos los conocimientos acumulados hasta entonces. Aunque D'Alembert trabajó en distintos campos de las matemáticas, vamos a presentar su pequeña contribución a la teoría de números.

Dado el número: $$n=a_0a_1\cdots a_n$$ cuyo desarrollado en potencias es: $$n=10^ma_0+ \cdots +10a_{m-1}+a_m$$ Si es divisible por 10-p, también lo es el número (y viceversa): $$n^*=p^ma_0+ \cdots +pa_{m-1}+a_m$$ Restando ambos números: $$n-n^*=(10^m-10^p)a_0+\cdots+(10-p)a_{m-1}$$ y aplicando la identidad: $$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+a^{m-4}b^3\cdots+b^{m-1})$$ a cada paréntesis, se observa que n-n* es un múltiplo de 10-p Si n y n-n* son múltiplos de 10-p, entonces n* es múltiplo de 10-p.
Análogamente, si n es divisble por 10+p, también lo es el número (y viceversa): $$n^{**}=(-p)^ma_0+ \cdots +(-p)a_{m-1}+a_m$$ En este caso se debe aplicar la identidad: $$a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^2-a^{m-4}b^3\cdots\pm b^{m-1})$$ Para diferentes valores de p se obtienen varios criterios de divisibilidad.

Divisibilidad por 9:10-p=10-1=9 $$n^*=a_0+ \cdots +a_{m-1}+a_m$$ La suma de las cifras ha de ser un múltiplo de 9.

Divisibilidad por 11:;10+p=10+1=11 $$n^{**}=(-1)^ma_0+ \cdots -a_{m-1}+a_m$$ La diferencia entre la suma de las cifras pares y la suma de las cifras impares es un múltiplo de 11.

Divisibilidad por 7:10-p=10-3=7 $$n^*=3^ma_0+ \cdots +3a_{m-1}+a_m$$
Divisibilidad por 13:10+p=10+3=13
$$n^{**}=(-3)^ma_0+ \cdots -3a_{m-1}+a_m$$ La divisibilidad por 7 fue enunciada en el siglo XIII por Benalbana el Granatí. Veamos un ejemplo del criterio de divisibilidad por 7 aplicado de forma iterada al número 1547: $$[(1\cdot3+5)\cdot3+4]\cdot3+7=91$$ $$9\cdot 3+1=28$$ $$2\cdot 3+8=14$$ $$1\cdot 3+4=7$$
  • Del libro D'Alembert y Condorcet. Ricardo Moreno Castillo. La Matemática en sus personajes 51. Editorial Nivola.

Un juego ‘burro’ (II)

Como vimos, hay juegos en los que las ganancias disminuyen cuando aumenta la probabilidad de ganar en cada turno. Son los denominados donkey games o 'juegos burro'.

Recordemos el funcionamiento del juego:

Una moneda tiene una probabilidad p de salir cara (C) y una probabilidad 1-p de salir cruz (X). Se realizan series de lanzamientos. En cada turno si sale cara se gana un euro, si sale cruz se pierde un euro y si sale lo mismo que en la tirada anterior se cancela la ganancia o la pérdida. Por ejemplo, en la secuencia XCCC la ganancia será cero. Si p=0.5 el juego es justo y la ganancia media es cero. En cambio si p aumenta el jugador termina perdiendo y si p disminuye el jugador termina ganando.
Supongamos muchos jugadores participando simultáneamente y observamos un turno determinado: Sea N0 el número de jugadores sin ganancia ni pérdida,  N1 con ganancia  N2 con pérdida en un turno determinado.
En el turno siguiente, el número de jugadores sin ganancia ni pérdida será: $$N_0'=pN_1+(1-p)N_2$$ pues sale cara y había cara o sale cruz y había cruz.
El número de jugadores con ganancia será: $$N_1'=pN_0+pN_2$$ pues sale cara y no había nada o sale cara y había cruz.
El número de jugadores con pérdida será:
$$N_2'=(1-p)N_0+(1-p)N_1$$ pues sale cruz y no había nada o sale cruz y había cara.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar la probabilidad de obtener cara y el número de jugadores.
  • En una tabla se muestran el resultado de cada tirada: cara (C) o cruz (X) y la situación antes y después de la tirada: cara (C), cruz (X) o nada (N).
  • El botón 'inicio' permite empezar el juego.
  • Cada vez que se pulsa el botón 'jugar' se realiza una jugada simultánea.
  • El botón 'serie' permite realizar 100 jugadas simultáneas.
  • Un gráfico muestra los valores N0, N1 y N2 teóricos y experimentales y otro gráfico la ganancia media G.M., teórica y experimental.
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  • Para completar la información consultar 'Un juego burro (I)'.
  • Basado en un artículo de Juan M. R. Parrondo (Investigación y Ciencia).

Un juego ‘burro’ (I)

Aunque parezca paradójico, hay juegos en los que las ganancias disminuyen cuando aumenta la probabilidad de ganar en cada turno. Se denominan donkey games o 'juegos burro'. Christian van den Broeck y Bart Cleuren, físicos del Centro Universitario de Limburg, en Bélgica, estudian este tipo de juegos.Veamos uno de ellos:

Una moneda tiene una probabilidad p de salir cara (C) y una probabilidad 1-p de salir cruz (X). Se realizan series de lanzamientos. En cada turno si sale cara se gana un euro, si sale cruz se pierde un euro y si sale lo mismo que en la tirada anterior se cancela la ganancia o la pérdida. Por ejemplo, en la secuencia XCCC la ganancia será cero. Si p=0.5 el juego es justo y la ganancia media es cero. En cambio si p aumenta el jugador termina perdiendo y si p disminuye el jugador termina ganando.
Supongamos muchos jugadores participando simultáneamente y observamos un turno determinado: Sea N0 el número de jugadores sin ganancia ni pérdida,  N1 con ganancia  N2 con pérdida en un turno determinado.
En el turno siguiente, el número de jugadores sin ganancia ni pérdida será: $$N_0'=pN_1+(1-p)N_2$$ pues sale cara y había cara o sale cruz y había cruz.
El número de jugadores con ganancia será: $$N_1'=pN_0+pN_2$$ pues sale cara y no había nada o sale cara y había cruz.
El número de jugadores con pérdida será:
$$N_2'=(1-p)N_0+(1-p)N_1$$ pues sale cruz y no había nada o sale cruz y había cara.

 Las soluciones estacionarias se obtienen cuando, después de muchas iteraciones, los nuevos valores coinciden con los anteriores. Resolviendo el sistema:
$$\begin{eqnarray*} N_0 = pN_1+(1-p)N_2 \\ N_1=pN_0+pN_2 \\ N_2=(1-p)N_0+(1-p)N_1 \end{eqnarray*}$$ se obtienen las soluciones: $$N_1=\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0 \wedge N_2=\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0$$ La ganancia en un turno es: $$G=pN_0-(1-p)N_0-N_1+N_2=$$ $$(2p-1)N_0-\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0+\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0=\frac{p(p-1)(2p-1)}{p^2-p+1}N_0$$ El número total de jugadores es: $$N_0+N_1+N_2=N_0+\frac{p(2-p)}{p^2-p+1}N_0+\frac{1-p^2}{p^2-p+1}N_0=$$ $$\frac{-p^2+p+2}{p^2-p+1}N_0=\frac{-(p+1)(p-2)}{p^2-p+1}N_0$$ La ganancia media es: $$\overline{G}=\frac{\frac{p(p-1)(2p-1)}{p^2-p+1}}{\frac{-(p+1)(p-2)}{p^2-p+1}}=\frac{p(1-p)(1-2p)}{(1+p)(2-p)}$$
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar el número de jugadores y la probabilidad de obtener cara.
  • Se puede cambiar el turno del juego y obtener el número de jugadores en cada uno de los casos  y la ganancia media en cada turno.
  • Unos gráficos muestran los posibles valores de la ganancia media,  la evolución de la ganancia media y del número de jugadores en cada caso.
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  • Basado en un artículo de Juan M. R. Parrondo (Investigación y Ciencia).