Movimiento armónico amortiguado

La hipótesis de que el rozamiento no tenga influencia en el movimiento armónico de un punto unido a un muelle o de un péndulo raramente se produce en la práctica. La experiencia enseña que el medio en el que oscila el punto se opone a dichas oscilaciones con una fuerza llamada resistencia viscosa, que en la mayoría de los casos es proporcional a la velocidad del punto, siendo b el coeficiente de rozamiento del medio.
$$R=-bv$$

Por tanto la ley de Newton aplicada a un punto de masa m unido a un muelle de elasticidad k será sobre el eje x:
$$-kx-bx'=mx'$$
$$x'+\frac{b}{m}x'+\frac{k}{m}=0$$
Esta ecuación diferencial tiene como solución:
$$x=Ae^{- \frac{b}{2m}}cos(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}t+\phi)$$
El coeficiente de amortiguamiento es:
$$\alpha=\frac{b}{2m}$$
La pulsación o frecuencia angular es:
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}$$
Se define el factor de calidad:
$$Q=\sqrt{\frac{km}{b}}$$
y es igual a $$2·\pi$$ veces el inverso de las pérdidas de energía por período. Si b=0, entonces se obtiene el movimiento armónico clásico.


Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir el valor de la elasticidad, la masa, la amplitud inicial, el desfase y el coeficiente de rozamiento.
  • Se obtienen la pulsación,el coeficiente de amortiguamiento y el factor de calidad.
  • Las gráficas representan la posición y la velocidad, las energías cinética y potencial y el espacio de fases v-x a lo largo del tiempo.
  • Al modificar el instante de tiempo se muestran los valores de la posición, velocidad, energía cinética, energía potencial y energía total.
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Modelo de epidemia (II)

Modelo SIS de propagación de una enfermedad:
$$ S \rightarrow I \rightarrow S$$ donde S es el número de individuos susceptibles de enfermar, I los individuos infectados y que una vez recuperados puden recaer en la enfermedad,. La población total se mantiene constante:
$$N=S(t)+I(t)$$ Las ecuaciones diferenciales son:
$$\frac{dS}{dt}=-\alpha SI+\mu (N-S)+ \beta I$$
$$\frac{dI}{dt}=\alpha SI-\beta I-\mu I$$
$$\alpha, \beta, \mu$$ son las tasas de contagio, recuperación y de nacimiento-muerte, respectivamente.


La epidemia se estabiliza cuando: $$K=\frac{ \alpha S}{\beta+\mu}=1$$ Desciende el número de infectados si: $$K\leq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt} \leq 1$$ Aumenta el número de infectados si: $$K\geq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt}\geq 1$$
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar S0, las tasas y el instante de tiempo t.
  • Se muestran St, It, el parámetro K y las gráficas correspondientes.
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Modelo de epidemia (I)

ModeloSIR de propagación de una enfermedad:
$$S \rightarrow I \rightarrow R$$ donde S es el número de individuos susceptibles de enfermar, I los individuos infectados y R los que se han recuperado de la enfermedad y quedan inmunizados. La población total se mantiene constante:
$$N=S(t)+I(t)+R(t)$$ Las ecuaciones diferenciales son: $$\frac{dS}{dt}=-\alpha SI+\mu (N-S)$$ $$\frac{dI}{dt}=\alpha SI-\beta I-\mu I$$ $$\frac{dR}{dt}=\beta I-\mu R$$ $$\alpha, \beta, \mu$$ son las tasas de contagio, recuperación y de nacimiento-muerte, respectivamente.

El umbral epidemiológico se alcanza cuando: $$K=\frac{ \alpha S}{\beta+\mu}=1$$ Desciende el número de infectados si: $$K\leq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt} \leq 1$$ Aumenta el número de infectados si: $$K\geq 1 \rightarrow \frac{dI}{dt}\geq 1$$
Si la tasa de nacimientos-muertes es nula, entonces el modelo simplificado corresponde al de Kermack-McKendrick.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar S0, las tasas y el instante de tiempo t.
  • Se muestran St, It y Rt, el parámetro K y las gráficas correspondientes.
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