Flores en polares

El concepto abstracto de sistema de coordenadas polares se debe a Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.

En el periódico Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar.

Dentro de las muchas  curvas que se pueden representar utilizando las coordenadas polares, están las flores rosáceas. Sus ecuaciones generales son las siguientes:

Flores I: $$\rho=a \cdot cos(n\theta)+b$$
Flores II: $$\rho=a \cdot  |cos(n\theta)|+b$$
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Con los deslizadores podrás cambiar los parámetros a, b y n que definen a las curvas y mediante el valor de k, aumentar el valor del ángulo lo necesario para obtener la figura completa. Activando las casillas podrás observar los dos tipos de flores.

Esher, Bach y Aquiles

¡¡Lee cuidadosamente el siguiente diálogo!!

Crab Canon

Achilles and the Tortoise happen upon each other
in the park one day while strolling.
Tortuga: Buen día, Sr Aquiles.

Aquiles: Vaya, lo mismo digo.

T: Qué agradable encontrarte.

A: Eso mismo pienso yo.

T: Y es un día perfecto para un paseo. Creo que me iré a casa andando.

A: ¿Ah sí? Supongo que no hay nada mejor para ti que andar.

T: A propósito, hay que reconocer que parece que estás en buena forma últimamente.

A: Muchas gracias.

T: De nada1. ¿Te apetece uno de mis puros?.

A: ¡Oh! Eres tan ignorante. En este tema los holandeses tienen un gusto bastante discutible. ¿No crees?.

T: No estoy de acuerdo, en este caso. Pero hablando de gustos, por fin vi el otro día, Crab2 Canon de tu artista favorito M.C. Escher en una galería, y aprecio completamente la belleza y la ingenuidad con las que consigue que un simple tema se combine tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero me temo que siempre pensaré que Bach es superior a Escher.

A: No lo sé. Pero una cosa segura es que no me preocupan las discusiones sobre gustos. "De gustibus non est disputandum".

T: Dime, ¿cómo llevas lo de la edad? ¿Es cierto que ya no se tienen preocupaciones?.

A: Para ser exacto uno ya no tiene neuras.

T: ¡Oh!, bien, lo mismo me ocurre a mí.

A: Tocar el violín. Eso marca la gran diferencia, ¿sabes?.

T: Dime, ¿no tocas la guitarra?.

A: Eso lo hace un buen amigo mío. A menudo toca, el tonto3. Pero yo no tocaría la guitarra con un palo4 de diez pies.

Rápidamente, el cangrejo, aparece de repente y deambula excitado.



Cangrejo: ¡Hola! ¡hola! ¿Qué pasa? ¿Qué hay de nuevo? ¿Ves este golpe, este chichón? Me lo ha dado un malhumorado. ¡Oh! Y en un día tan bonito. Mira, estaba yo simplemente holgazaneando por el parque, cuando apareció este tío gigante de Varsovia., -un trozo de oso colosal- tocando un laúd. Medía tres metros de altura. Me acerqué al tipo, que llegaba hasta el cielo, y me las apañé para darle unas palmaditas en la rodilla, diciéndole "Perdón, señor, pero está contaminando5 con sus mazurcas". ¡Pero guau!, no tenía ni una pizca de sentido del humor y ¡pof! me dio un manotazo en el ojo. Si me hubiera dejado llevar me habría enfurecido, pero siguiendo la larga tradición de mi especie, me retiré. Después de todo, cuando caminamos hacia adelante, nos movemos hacia atrás. Está en nuestros genes, ¿sabes?. Siempre me lo he preguntado: ¿qué fue primero el cangrejo o el gen?. Es decir, ¿qué vino después, el gen o el cangrejo? Siempre le doy vueltas y vueltas a las cosas. Está en nuestros genes después de todo. Cuando caminamos hacia atrás, nos movemos hacia adelante. ¡Oh, Dios!, debo seguir mi feliz camino, así que me voy en un día tan bueno cantando ¡Oh, por la vida de un cangrejo! ¡TATA! ¡olé!

Y desapareció tan rápido como llegó.

T: Eso lo hace un buen amigo mío. A menudo hace el tonto3. Pero yo no tocaría a un polaco4 con una guitarra.

A: Dime, ¿no tocas la guitarra?.

T: El violín. Eso marca la gran diferencia, ¿sabes?.

A: ¡Oh!, bien, lo mismo me ocurre a mí.

T: Para ser exacto uno ya no tiene neuras.

A: Dime, ¿cómo llevas lo de la edad? ¿Es cierto que ya no se tienen preocupaciones?.

T: No lo sé. Pero una cosa segura es que no me preocupan las discusiones sobre gustos. "De disputandum non est gustibus".

A: No estoy de acuerdo, en este caso. Pero hablando de gustos, por fin oí el otro día, Crab canon de tu compositor favorito J.S. Bach en un concierto, y aprecio completamente la belleza y la ingenuidad con las que consigue que un simple tema se combine tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero me temo que siempre pensaré que Escher es superior a Bach.

T: ¡Oh! Eres tan ignorante. En este tema los holandeses tienen un gusto bastante discutible. ¿No crees?.

A: De ninguna manera1. ¿Te apetece uno de mis puros?.

T: Muchas gracias.

A: A propósito, hay que reconocer que parece que estás en buena forma últimamente.

T: ¿Ah sí? Supongo que no hay nada mejor para ti que andar.

A: Y es un día perfecto para un paseo. Creo que me iré a casa andando.

T: Eso mismo pienso yo.

A: Qué agradable encontrarte.

T: Vaya, lo mismo digo.

A: Buen día, Sra Tortuga.
1 en inglés not at all en ambos casos

2 crab es cangrejo en inglés

3 en inglés aparece primero: He often plays, the fool y luego: He often plays the fool

4 pole en inglés significa indistintamente palo y polaco

5 en inglés Pole-luting, juego de palabras entre contaminando y polaco-tocar el laúd

Traducido del libro: " Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid"
Douglas R. Hofstadter.


Observa que el diálogo se repite terminando igual que empieza, es un "palíndromo". Esto mismo es lo que ocurre en el crab canon de Bach y en muchas figuras de Escher.

Roman Opalka, pintor de la infinitud

"El problema es que somos y estamos a punto de no ser". Para Roman Opalka, visualizar el paso del tiempo llegó a convertirse en una obsesión a la que dedicó gran parte de su vida, pintando una sucesión ininterrumpida de números que comenzó en su estudio de Varsovia un día de 1965, cuando con mano temblorosa registró aquel número uno en la esquina superior izquierda de un lienzo totalmente negro. 46 años después, cuando su muerte cerró la serie, había llegado al 5607249, escribiendo el guarismo tal como lo hubiera hecho el propio artista, que no utilizaba puntos para separar órdenes de magnitud. Opalka murió el día 6 de Agosto de 2011 mientras estaba de vacaciones en Roma, a punto de cumplir 80 años.


Desde entonces hasta ahora, Opalka (Hocquincourt, Francia, 1931) pintó un total de 233 cuadros (o detalles, como él los llamaba) en los que cada número, como cada segundo y cada minuto de nuestras vidas, precedía y era sucedido por una interminable procesión de líneas cuidadosamente ordenadas, del uno al infinito. Cada cifra tenía apenas un centímetro de altura; cada cuadro continuaba el anterior exactamente donde este lo dejó. Su quijotesca tarea, que para algunos críticos era poco menos que un suicidio, quiso exponer la inexorabilidad del tiempo que fluía a través de su vida, aproximándose a la muerte a través de la grandeza del infinito. Como él mismo escribió en 1987, "el tiempo, tal y como lo vivimos y lo creamos, encarna nuestra progresiva desaparición; estamos al mismo tiempo vivos y enfrentados con la muerte: ese es el misterio de todos los seres vivos. La conciencia de este inevitable desaparición ensancha nuestras experiencias sin disminuir nuestra alegría".

A lo largo de aquellos 46 años transcurridos entre Polonia, Alemania, Estados Unidos y Francia, donde se asentó en 1977, su obra -siempre bajo el título Opalka 1965/1 a infinito- apenas registró cambios. Usó, invariablemente, lienzos de 196 por 135 centímetros, y los números, dibujados en apenas dos trazos de idéntico grosor, siempre con un pincel número cero. En 1968 pasó del fondo negro al gris, y en 1972, al alcanzar la cifra de 1000000, empezó a aclararlo progresivamente, introduciendo cada año un 1% más de blanco. En 2008, finalmente, se encontró pintando cifras blancas sobre fondo blanco (que denominaba blanc merité, o blanco merecido).

También en 1972 empezó a grabarse pronunciando los números que iba pintando, unos 400 cada día y entre 20.000 y 30.000 por lienzo. Al final de cada sesión de trabajo se fotografiaba enfrente del detalle en el que había estado trabajando, envejeciendo mientras la secuencia de números le acompañaba hacia el infinito que tanto ansió siempre. Era reacio a los viajes, y cuando resultaban inevitables, continuaba en sus cartes de voyage, pintando números en tinta negra sobre papel blanco. Su labor llegó a ser tan absorbente y meditativa que pintaba incluso en medio de la noche, mientras el resto de la ciudad dormía; sufrió del corazón y durante un tiempo apenas podía sostener el botecito de pintura, pero nunca quiso abandonar.

Opalka, tres de cuyos cuadros fueron vendidos el año pasado en la casa de subastas Christie's por 900.000 euros, participó en muchas de las exposiciones de arte más relevantes, incluyendo Documenta (Kassel, Alemania) en 1997, la Bienal de Sao Paulo (Brasil) en 1987 y la de Venecia en 1995 y 2003, mientras que cuatro exposiciones en Italia, Francia y Corea del Sur rinden estos días homenaje a una obra cuyo primer cuadro se conserva en el Museo de Arte de Lodz, en Polonia, institución que prevé hacerse también con la última de sus obras.

¡En 1965 pintó su primer número; al morir había llegado al 5.607.249!

Fuente del texto: El País 31 agosto  2011