Las fórmulas de las pensiones


 Con el fin de conseguir la sostenibilidad del sistema de pensiones en España, un grupo de "12 sabios"  han propuesto dos fórmulas perversas.
Factor Equidad Intergeneracional

Con este nombre tan solidario, se pretende adecuar la pensión a la esperanza de vida. Como ésta va aumentando cada año, el valor de la pensión en el momento de la jubilación se irá reduciendo cada año que pase. Ni siquiera "adelantando" nuestra muerte, mejoraríamos la pensión, pues se trabaja con valores de vida media y no sobre las expectativas personales. Tampoco los hombres, que viven de media menos que las mujeres, tendrían una compensación porque el cálculo se hace sin tener en cuenta el sexo.
$$FEI_{j,t+s}=S_{j,t+s}\frac{e_{j,t}}{e_{j,t+s}}$$
siendo
$$S_{j,t+s}$$
pensión inicial de jubilación.
$$e_{j,t}$$
esperanza de vida de los que han entrado en el sistema s años antes.
$$e_{j,t+s}$$
esperanza de vida de los pensionistas el año de su jubilación.

Factor Revalorización Anual

Se pretende desvincular la actualización de las pensiones del Índice de Precios al Consumo (IPC) y relacionarlo con otras variables. Sólo cuando los ingresos del sistema superen a los gastos podrían subir las pensiones, siempre que el número de pensionistas y el valor de la pensión media lo permitan.

$$g_{t+1}=\overline{g}_{í,t+1}-\overline{g}_{p,t+1}-\overline{g}_{s,t+1}+\alpha \{\frac{I_t^*-G_t^*}{G_t^*}\}$$
siendo
$$g_{t+1}$$
la tasa de crecimiento nominal de la pensión.
$$\overline{g}_{í,t+1}$$
la tasa de crecimiento de los ingresos del sistema.
$$\overline{g}_{p,t+1}$$
la tasa de crecimiento del número de pensionistas.
$$\overline{g}_{s,t+1}$$
tasa de crecimiento de la pensión media, debida a la diferencia entre altas y bajas.

Las variables con el símbolo [-] se refieren a medias aritméticas móviles tomando los 5 años anteriores, el actual y los 5 años siguientes.

$$I_t^*$$
los ingresos del sistema del año anterior.
$$G_t^*$$
los gastos del sistema del año anterior.

Las variables con el símbolo [*] se refieren a medias geométricas móviles tomando los 5 años anteriores, el actual y los 5 años siguientes.

$$\alpha$$
factor entre 0 y 1 que marca el ritmo de corrección del desequilibrio presupuestario (decisión del gobierno).

Problemas de bancarrota y el Talmud

El reparto de un bien escaso cuando es insuficiente para satisfacer las demandas de todos los acreedores, se conoce como problema de bancarrota. A partir del problema del Talmud se muestran como actúan cinco reglas de reparto:
  • Proporcional
  • Igualar ganacias
  • Igualar pérdidas
  • Por orden de llegada
  • Talmúdico
El problema del Talmud es el siguiente:

Un deudor en bancarrota debe a sus acreedores 100, 200 y 300 zuzim, respectivamente.

¿Cómo debe repartir la cantidad que dispone, si ésta es de 100, 200, 300 zuzim?

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

En REPARTO I se calcula el reparto "proporcional" e "Igualar ganancias"; en REPARTO II se calcula el reparto "Igualar pérdidas" y "Por orden de llegada", en REPARTO II se calcula el reparto "Talmúdico".
  • CANTIDAD DISPONIBLE (E): permite elegir la cantidad a repartir entre los acreedores.
  • DEMANDAS (D1, D2; D3): permite elegir las demandas de cada uno de los tres acreedores.
Descargar .XLS
Se explican cada uno de las formas de reparto y se comparan los resultado con los valores mostrados en el problema del Talmud.
Descargar .pdf

El reparto de la tarta

Queremos celebrar el "post" número 100, mediante una tarta que queremos repartir entre nuestros visitantes:
El problema consiste en cuántos trozos queda dividida la tarta en función del número de cortes:

Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes.
¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con n cortes?

En vez de resolver este problema por medio del ensayo y el error, una manera mejor es descubrir la regla que nos dará el mayor número de partes que pueden obtenerse con cualquier número de cortes.

El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que cuando se hace el corte t1 se suma una parte más, lo que da dos partes en total. El corte t2 suma dos partes más, totalizando 4 y el corte t3 suma tres partes más, totalizando 7.

Parece que cada corte suma un número de partes que es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resulta difícil observar por qué.

Considérese, por ejemplo, el tercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esas tres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, y las tres secciones, naturalmente, agregarán tres pedazos.

Lo mismo ocurre en el caso de la cuarta línea. Puede marcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en cuatro secciones. Cada sección agrega un pedazo extra, de modo que las cuatro secciones agregarán cuatro pedazos más. y lo mismo ocurre en el caso de la quinta línea, de la sexta y de todas las que deseemos agregar.

Este tipo de razonamiento, que va desde el caso particular hasta un número infinito de casos, se conoce como inducción matemática.

Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer una lista que muestre el mayor número de partes que producirá cada corte:
  • número de cortes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
  • número de partes: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,...
¿Cuántas partes pueden hacerse con siete cortes? ¿Y con n cortes?

Sólo tenemos que sumar 7 a 22 para saber que la respuesta es 29. La ilustración muestra cómo puede lograrse que seis cortes produzcan 22 partes:
$$t_0=1;$$ $$t_1=t_0+1=2;$$ $$t_2=t_1+2=4;$$ $$t_3=t_2+3=7;$$
$$t_4=t_3+4=11;$$ $$t_5=t_4+5=16;$$ $$ t_6=t_5+5=22...$$

El término general "parece" ser: $$t_n=t_n_-_1+n$$

Podemos expresarlo de la siguiente manera:

$$t_n=t_n_-_1+n=$$$$t_n_-_1+(n-1)+n=$$$$t_n_-_2+(n-2)+(n-1)+n=$$
$$...=t_0+[1+2+3...(n-2)+(n-1)+n]$$$$=1+\frac{1}{2}(1+n)n=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+2$$

Para validar la fórmula hay que demostrarla por inducción:
$$t_n_+_1=t_n+n+1=(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+1)+n+1=\frac{1}{2}n^2+\frac{3n}{2}+2$$

Si desarrollamos la expresión: $$\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{2}(n+1)+1$$ se obtiene la misma expresión y por tanto queda demostrado.

Otra forma de obtener el término general es observar que las 2ª diferencias entre valores consecutivos son constantes:
  • términos:1, 2, 4, 7, 11, 16, 22..
  • 1ª diferencias: 1, 2, 3, 4, 5, 6..
  • 2ª diferencias: 1, 1, 1, 1, 1...
y por tanto "parece" que se ajustan a una parábola y resolviendo el sistema tomando tres términos conocidos, se obtiene también la expresión del término general.

Roman Opalka, pintor de la infinitud

"El problema es que somos y estamos a punto de no ser". Para Roman Opalka, visualizar el paso del tiempo llegó a convertirse en una obsesión a la que dedicó gran parte de su vida, pintando una sucesión ininterrumpida de números que comenzó en su estudio de Varsovia un día de 1965, cuando con mano temblorosa registró aquel número uno en la esquina superior izquierda de un lienzo totalmente negro. 46 años después, cuando su muerte cerró la serie, había llegado al 5607249, escribiendo el guarismo tal como lo hubiera hecho el propio artista, que no utilizaba puntos para separar órdenes de magnitud. Opalka murió el día 6 de Agosto de 2011 mientras estaba de vacaciones en Roma, a punto de cumplir 80 años.


Desde entonces hasta ahora, Opalka (Hocquincourt, Francia, 1931) pintó un total de 233 cuadros (o detalles, como él los llamaba) en los que cada número, como cada segundo y cada minuto de nuestras vidas, precedía y era sucedido por una interminable procesión de líneas cuidadosamente ordenadas, del uno al infinito. Cada cifra tenía apenas un centímetro de altura; cada cuadro continuaba el anterior exactamente donde este lo dejó. Su quijotesca tarea, que para algunos críticos era poco menos que un suicidio, quiso exponer la inexorabilidad del tiempo que fluía a través de su vida, aproximándose a la muerte a través de la grandeza del infinito. Como él mismo escribió en 1987, "el tiempo, tal y como lo vivimos y lo creamos, encarna nuestra progresiva desaparición; estamos al mismo tiempo vivos y enfrentados con la muerte: ese es el misterio de todos los seres vivos. La conciencia de este inevitable desaparición ensancha nuestras experiencias sin disminuir nuestra alegría".

A lo largo de aquellos 46 años transcurridos entre Polonia, Alemania, Estados Unidos y Francia, donde se asentó en 1977, su obra -siempre bajo el título Opalka 1965/1 a infinito- apenas registró cambios. Usó, invariablemente, lienzos de 196 por 135 centímetros, y los números, dibujados en apenas dos trazos de idéntico grosor, siempre con un pincel número cero. En 1968 pasó del fondo negro al gris, y en 1972, al alcanzar la cifra de 1000000, empezó a aclararlo progresivamente, introduciendo cada año un 1% más de blanco. En 2008, finalmente, se encontró pintando cifras blancas sobre fondo blanco (que denominaba blanc merité, o blanco merecido).

También en 1972 empezó a grabarse pronunciando los números que iba pintando, unos 400 cada día y entre 20.000 y 30.000 por lienzo. Al final de cada sesión de trabajo se fotografiaba enfrente del detalle en el que había estado trabajando, envejeciendo mientras la secuencia de números le acompañaba hacia el infinito que tanto ansió siempre. Era reacio a los viajes, y cuando resultaban inevitables, continuaba en sus cartes de voyage, pintando números en tinta negra sobre papel blanco. Su labor llegó a ser tan absorbente y meditativa que pintaba incluso en medio de la noche, mientras el resto de la ciudad dormía; sufrió del corazón y durante un tiempo apenas podía sostener el botecito de pintura, pero nunca quiso abandonar.

Opalka, tres de cuyos cuadros fueron vendidos el año pasado en la casa de subastas Christie's por 900.000 euros, participó en muchas de las exposiciones de arte más relevantes, incluyendo Documenta (Kassel, Alemania) en 1997, la Bienal de Sao Paulo (Brasil) en 1987 y la de Venecia en 1995 y 2003, mientras que cuatro exposiciones en Italia, Francia y Corea del Sur rinden estos días homenaje a una obra cuyo primer cuadro se conserva en el Museo de Arte de Lodz, en Polonia, institución que prevé hacerse también con la última de sus obras.

¡En 1965 pintó su primer número; al morir había llegado al 5.607.249!

Fuente del texto: El País 31 agosto  2011