D’Alembert y la divisibilidad

Jean le Ronde d'Alembert junto con Denis Diderot fueron dos figuras decisivas de La Ilustración. A ellos se debe, fundamentalmente, la elaboración y dirección de L'Enciclopédie (1751-1772), obra magna que recogía con una visión laica y basada en la razón, de forma sistemática todos los conocimientos acumulados hasta entonces. Aunque D'Alembert trabajó en distintos campos de las matemáticas, vamos a presentar su pequeña contribución a la teoría de números.

Dado el número: $$n=a_0a_1\cdots a_n$$ cuyo desarrollado en potencias es: $$n=10^ma_0+ \cdots +10a_{m-1}+a_m$$ Si es divisible por 10-p, también lo es el número (y viceversa): $$n^*=p^ma_0+ \cdots +pa_{m-1}+a_m$$ Restando ambos números: $$n-n^*=(10^m-10^p)a_0+\cdots+(10-p)a_{m-1}$$ y aplicando la identidad: $$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+a^{m-4}b^3\cdots+b^{m-1})$$ a cada paréntesis, se observa que n-n* es un múltiplo de 10-p Si n y n-n* son múltiplos de 10-p, entonces n* es múltiplo de 10-p.
Análogamente, si n es divisble por 10+p, también lo es el número (y viceversa): $$n^{**}=(-p)^ma_0+ \cdots +(-p)a_{m-1}+a_m$$ En este caso se debe aplicar la identidad: $$a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^2-a^{m-4}b^3\cdots\pm b^{m-1})$$ Para diferentes valores de p se obtienen varios criterios de divisibilidad.

Divisibilidad por 9:10-p=10-1=9 $$n^*=a_0+ \cdots +a_{m-1}+a_m$$ La suma de las cifras ha de ser un múltiplo de 9.

Divisibilidad por 11:;10+p=10+1=11 $$n^{**}=(-1)^ma_0+ \cdots -a_{m-1}+a_m$$ La diferencia entre la suma de las cifras pares y la suma de las cifras impares es un múltiplo de 11.

Divisibilidad por 7:10-p=10-3=7 $$n^*=3^ma_0+ \cdots +3a_{m-1}+a_m$$
Divisibilidad por 13:10+p=10+3=13
$$n^{**}=(-3)^ma_0+ \cdots -3a_{m-1}+a_m$$ La divisibilidad por 7 fue enunciada en el siglo XIII por Benalbana el Granatí. Veamos un ejemplo del criterio de divisibilidad por 7 aplicado de forma iterada al número 1547: $$[(1\cdot3+5)\cdot3+4]\cdot3+7=91$$ $$9\cdot 3+1=28$$ $$2\cdot 3+8=14$$ $$1\cdot 3+4=7$$
  • Del libro D'Alembert y Condorcet. Ricardo Moreno Castillo. La Matemática en sus personajes 51. Editorial Nivola.

El problema del Bar El Farol

El problema del Bar El Farol es un problema planteado en el marco de la teoría de juegos. Se basa en una anécdota real acontecida en un bar de la ciudad de Santa Fe (Nuevo M exico) llamado El Farol y fue esbozado inicialmente por el economista Brian Arthur en 1994.
El planteamiento del problema es como sigue, en Santa Fe hay un número finito de personas y el jueves por la noche todo el mundo desea ir al Bar El Farol . Sin embargo, El Farol es un local muy pequeño y no es agradable ir si está repleto de gente.
Si por ejemplo, menos del 60% de la población va a ir al bar, entonces es más agradable ir al bar que quedarse en casa, en caso contrario es mejor quedarse en casa que ir al bar.
Lamentablemente, todo el mundo necesita decidir si ir o no ir al bar al mismo tiempo y no es posible esperar para ver cuantas personas antes que ellos han decidido ir.


  • Si todo el mundo usa el mismo método y éste sugiere que el bar no estará lleno, entonces todo el mundo acudirá, por lo que el bar estará lleno.
  • Análogamente, si todo el mundo usa el mismo método y éste sugiere que el bar estará lleno, entonces nadie acudirá y, por lo tanto, el bar no estará lleno, estará vacío.


  • El modelo permite fijar el interés de la población por ir al bar y la capacidad óptima del mismo. Con la opción aleatorio los clientes van al bar al azar pero teniendo en cuenta el interés. En cambio, la opción estrategia selecciona inicialmente un número de clientes al azar, de acuerdo con el criterio de interés, y a partir de ahí los que no fueron la semana anterior van aleatoriamente y los que fueron repiten si había un número adecuado para la capacidad del bar y no van si había demasiada gente.

    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se puede elegir el interés de la gente y la capacidad del bar.
    • El botón iniciar borra el proceso anterior.
    • Los botones aleatorio y estrategia permiten, semana a a semana, mostrar la evolución de la clientela del bar.
    • Se muestran la media, la desviación típica, el máximo y el mínimo de clientes y el gráfico temporal del proceso. También el número de clientes en la semana actual.
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    Cuadrados mágicos (II)

     Un cuadrado mágico es una tabla en forma de matriz cuadrada donde las filas, las columnas y las diagonales principales suman el mismo valor y que recibe el nombre de constante mágica.

    El cuadrado mágico más famoso es el de Alberto Durero, llamado diabólico, porque la constante mágica se puede obtener combinando 4 celdas de otras muchas formas: las 4 esquinas, las 4 centrales, las 2 centrales de la fila superior e inferior, las 2 centrales de la primera y última columna, cada uno de los subcuadrados en que se divide el cuadrado completo, etc.
    Vamos a determinar la constante mágica para los cuadrados mágicos formados por números en progresión aritmética o geométrica.

    La suma de los números del cuadrado mágico que están en progresión aritmética de diferencia d es:
    $$S=\frac{a_1+a_m}{2}m=\frac{a_1+a_1+(m-1)d}{2}m=\frac{2a_1+(m-1)d}{2}m$$
    Si el cuadrado es de tamaño n y su constante mágica es M(n):
    $$m=n^2 \wedge S=n \cdot M(n)$$ 
    entonces se cumple:
    $$n \cdot M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n^2$$
    y el valor de la constante mágica para un cuadrado de tamaño n es:
    $$M(n)=\frac{2a_1+(n^2-1)d}{2}n$$
    De manera análoga, si los números del cuadrado están en progresión geométrica de razón r, se tiene que:
    $$M(n)=(a_1^2+r^{n^2-1})^{\frac{n}{2}}$$

    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se puede elegir el TÉRMINO INICIAL de la progresión y la DIFERENCIA, si se ha elegido  ARITMÉTICA, o la RAZÓN, si se ha elegido GEOMÉTRICA.
    • Se muestra un cuadrado impar de 3x3 y un cuadrado par de 4x4 y sus CONSTANTES MÁGICAS correspondientes.
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    El número de oro y otros números metálicos

    A la sucesión de recurrencia:
    $$u_{n+1}=pu_{n}+qu_{n-1}$$
    le correspnde, en ecuaciones en diferencias, la siguiente ecuación característica:
    $$x^{2}-px-q=0$$
    cuya solución positiva es:
    $$\frac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}$$
    Se obtienen así los llamados números metálicos:

    p 1 2 3 1 1
    q 1 1 1 2 3
    número oro plata bronce cobre niquel
    valor $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ $$1+\sqrt{2}$$ $$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$$ $$2$$ $$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$$

    La sucesión con p=q=1 es la conocida sucesión de Fibonacci.
    La sucesión generalizada de Fibonacci es:$$G(n+1)=pG(n)+qG(n-1)$$ Y si a y b son los términos iniciales:
    $$a,b,pb+qa,p(pb+qa)+qb,...$$ Operando en la expresión recurrente y tomando límites: $$\frac{G(n+1)}{G(n)}=p+\frac{G(n-1)} {G(n)}q$$ $$x=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{G(n+1)}{G(n)}$$ $$x=p+\frac{q}{x}$$ $$x^2-px-q=0$$
    se obtiene la ecuación característica de la ecuación en diferencias.

    Por tanto, el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci Generalizda tiende siempre al número metálico corespondiente.

    La familia de los números metálicos fue introducida en 1995 por la matemática argentina Vera W. Spinadel.

    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se pueden modificar los parámetros p y q de la sucesión recurrente.
    • Se pueden modificar los dos primeros términos de la sucesión F0 y F1.
    • Se muestran las tablas con los 20 primeros términos y los cocientes entre términos consecutivos.
    • Se muestra la gráfica que se estabiliza hacia el número metálico correspondiente.
    • Se muestra el valor del número metálico correspondiente.
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    Problemas de bancarrota y el Talmud

    El reparto de un bien escaso cuando es insuficiente para satisfacer las demandas de todos los acreedores, se conoce como problema de bancarrota. A partir del problema del Talmud se muestran como actúan cinco reglas de reparto:
    • Proporcional
    • Igualar ganacias
    • Igualar pérdidas
    • Por orden de llegada
    • Talmúdico
    El problema del Talmud es el siguiente:

    Un deudor en bancarrota debe a sus acreedores 100, 200 y 300 zuzim, respectivamente.

    ¿Cómo debe repartir la cantidad que dispone, si ésta es de 100, 200, 300 zuzim?

    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

    En REPARTO I se calcula el reparto "proporcional" e "Igualar ganancias"; en REPARTO II se calcula el reparto "Igualar pérdidas" y "Por orden de llegada", en REPARTO II se calcula el reparto "Talmúdico".
    • CANTIDAD DISPONIBLE (E): permite elegir la cantidad a repartir entre los acreedores.
    • DEMANDAS (D1, D2; D3): permite elegir las demandas de cada uno de los tres acreedores.
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    Se explican cada uno de las formas de reparto y se comparan los resultado con los valores mostrados en el problema del Talmud.
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    El reparto de la tarta

    Queremos celebrar el "post" número 100, mediante una tarta que queremos repartir entre nuestros visitantes:
    El problema consiste en cuántos trozos queda dividida la tarta en función del número de cortes:

    Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes.
    ¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con n cortes?

    En vez de resolver este problema por medio del ensayo y el error, una manera mejor es descubrir la regla que nos dará el mayor número de partes que pueden obtenerse con cualquier número de cortes.

    El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que cuando se hace el corte t1 se suma una parte más, lo que da dos partes en total. El corte t2 suma dos partes más, totalizando 4 y el corte t3 suma tres partes más, totalizando 7.

    Parece que cada corte suma un número de partes que es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resulta difícil observar por qué.

    Considérese, por ejemplo, el tercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esas tres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, y las tres secciones, naturalmente, agregarán tres pedazos.

    Lo mismo ocurre en el caso de la cuarta línea. Puede marcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en cuatro secciones. Cada sección agrega un pedazo extra, de modo que las cuatro secciones agregarán cuatro pedazos más. y lo mismo ocurre en el caso de la quinta línea, de la sexta y de todas las que deseemos agregar.

    Este tipo de razonamiento, que va desde el caso particular hasta un número infinito de casos, se conoce como inducción matemática.

    Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer una lista que muestre el mayor número de partes que producirá cada corte:
    • número de cortes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
    • número de partes: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,...
    ¿Cuántas partes pueden hacerse con siete cortes? ¿Y con n cortes?

    Sólo tenemos que sumar 7 a 22 para saber que la respuesta es 29. La ilustración muestra cómo puede lograrse que seis cortes produzcan 22 partes:
    $$t_0=1;$$ $$t_1=t_0+1=2;$$ $$t_2=t_1+2=4;$$ $$t_3=t_2+3=7;$$
    $$t_4=t_3+4=11;$$ $$t_5=t_4+5=16;$$ $$ t_6=t_5+5=22...$$

    El término general "parece" ser: $$t_n=t_n_-_1+n$$

    Podemos expresarlo de la siguiente manera:

    $$t_n=t_n_-_1+n=$$$$t_n_-_1+(n-1)+n=$$$$t_n_-_2+(n-2)+(n-1)+n=$$
    $$...=t_0+[1+2+3...(n-2)+(n-1)+n]$$$$=1+\frac{1}{2}(1+n)n=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+2$$

    Para validar la fórmula hay que demostrarla por inducción:
    $$t_n_+_1=t_n+n+1=(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+1)+n+1=\frac{1}{2}n^2+\frac{3n}{2}+2$$

    Si desarrollamos la expresión: $$\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{2}(n+1)+1$$ se obtiene la misma expresión y por tanto queda demostrado.

    Otra forma de obtener el término general es observar que las 2ª diferencias entre valores consecutivos son constantes:
    • términos:1, 2, 4, 7, 11, 16, 22..
    • 1ª diferencias: 1, 2, 3, 4, 5, 6..
    • 2ª diferencias: 1, 1, 1, 1, 1...
    y por tanto "parece" que se ajustan a una parábola y resolviendo el sistema tomando tres términos conocidos, se obtiene también la expresión del término general.