Movimiento armónico amortiguado

La hipótesis de que el rozamiento no tenga influencia en el movimiento armónico de un punto unido a un muelle o de un péndulo raramente se produce en la práctica. La experiencia enseña que el medio en el que oscila el punto se opone a dichas oscilaciones con una fuerza llamada resistencia viscosa, que en la mayoría de los casos es proporcional a la velocidad del punto, siendo b el coeficiente de rozamiento del medio.
$$R=-bv$$

Por tanto la ley de Newton aplicada a un punto de masa m unido a un muelle de elasticidad k será sobre el eje x:
$$-kx-bx'=mx'$$
$$x'+\frac{b}{m}x'+\frac{k}{m}=0$$
Esta ecuación diferencial tiene como solución:
$$x=Ae^{- \frac{b}{2m}}cos(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}t+\phi)$$
El coeficiente de amortiguamiento es:
$$\alpha=\frac{b}{2m}$$
La pulsación o frecuencia angular es:
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}$$
Se define el factor de calidad:
$$Q=\sqrt{\frac{km}{b}}$$
y es igual a $$2·\pi$$ veces el inverso de las pérdidas de energía por período. Si b=0, entonces se obtiene el movimiento armónico clásico.


Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir el valor de la elasticidad, la masa, la amplitud inicial, el desfase y el coeficiente de rozamiento.
  • Se obtienen la pulsación,el coeficiente de amortiguamiento y el factor de calidad.
  • Las gráficas representan la posición y la velocidad, las energías cinética y potencial y el espacio de fases v-x a lo largo del tiempo.
  • Al modificar el instante de tiempo se muestran los valores de la posición, velocidad, energía cinética, energía potencial y energía total.
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La media derivada

¿Existe un operador, que se comporte como una media derivada?
$$H^2f(x)=Df(x)$$
Existe y estaría representado por:
$$Hf(x)=D^\frac{1}{2}f(x)$$
Más aún,  para todo a>0 real, se puede conseguir un operador:
$$D^af(x)$$ que recibe el nombre de derivada fraccional.

Si tomamos la función potencial: $$f(x)=x^k$$
su derivada a-ésima es:
$$D^ax^k=\frac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}$$
Teniendo en cuenta la función gamma:
$$\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}\,\mathrm{d}z$$
que verifica para números reales positivos:
$$\Gamma(z+1)=z!$$
la derivada a-ésima se expresa como:
$$D^ax^k=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-a)}x^{k-a}$$
Aplicamos la media derivada una primera vez a la función potencial de 2º grado:
$$D^\frac{1}{2}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}x^{3/2}$$
Aplicamos de nuevo la media derivada a la función obtenida: $$\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}D^\frac{1}{2}x^{3/2}=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}\frac{\Gamma(5/2)}{\Gamma(2)}x=2x$$
y observamos que hacer dos medias derivadas equivale a una derivada.

Si es necesario calcular la función gamma para un número fraccionario, se usa la fórmula de duplicación:
$$\Gamma(z)·\Gamma(z+1)=z^{1-2z}·\sqrt {\pi}·\Gamma(2z)$$
Si la derivada n-ésima de la función seno es:
$$D^nsen x=sen(x+n\frac{\pi}{2})$$
podemos extender la derivación para cualquier número real a>0:
$$D^asen x=sen(x+a\frac{\pi}{2})$$

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Con el deslizador a podrás elegir la 1ª derivada fraccional y con el deslizador b elegir una 2ª derivación fraccional. Podrás observar que si a+b es un número natural, se obtiene una derivada "tradicional".

El Cálculo Fraccional trata del estudio de los llamados operadores de derivación e integración de orden fraccionario sobre dominios reales o complejos y sus aplicaciones. En realidad dichos operadores surgen con el objetivo de generalizar los conceptos de integración y de derivada para valores no enteros.
El origen del Cálculo Fraccional se remonta a 1675, momento en el que Leibniz introduce la noción de la derivada de orden n de una función. Fue posteriormente en 1695 cuando los primeros resultados publicados son citados en una carta de L'Hôpital a Leibniz, en la cual L'Hôpital plantea la cuestión del posible significado de la derivada de orden n si n=1/2. La respuesta intuitiva en ese momento de Leibniz fue: "...y esto es una paradoja aparente que permitirá en el futuro extraer consecuencias muy útiles".

A partir de aquí, son muchos los matemáticos que han estudiado este tema y han aportado su contribución al desarrollo de lo que hoy conocemos sobre Cálculo Fraccionario. Entre ellos podemos destacar a Euler, Lagrange,Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Grünwald, Letnikov, Holmgren, Cauchy, Hadamard, Hardy, Riesz, Weyl, etc.

Sus aplicaciones van desde el control y la robótica hasta el estudio de los polímeros o las ondas sísmicas.

Movimiento armónico simple (III)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) de direcciones perpendiculares.

Misma frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x=Asen(wt) \wedge y=Bsen(wt+\phi)$$
La resultante será:
$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy}{AB}cos\phi=sen^2\phi$$
Si están en fase: $$\phi=0 \rightarrow y=\frac{B}{A}x$$ Si están en oposición: $$\phi=180º \rightarrow y=-\frac{B}{A}x$$ Si están en cuadratura: $$\phi=90º \rightarrow \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$$ Distinta frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x=Asen(w_1t) \wedge y=Bsen(w_2t+\phi)$$
Al ser las frecuencias diferentes, la diferencia de fase no es constante y la figura se va modificando de modo continuo, pero siempre inscrita en un rectángulo de semilados A y B.
Se obtienen curvas muy variadas según la relación de los periodos de los movimientos componentes y la diferencia de fase inicial (figuras de Lissayous).

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar la  AMPLITUD, la FRECUENCIA ANGULAR de cada movimiento y el DESFASE entre ellos.
  • Se muestran las gráficas de la elongación de los movimientos componentes y del movimiento resultante.
  • Al variar el MOVIMIENTO, cambia la posición del punto en cada una de las gráficas.
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La cicloide (III)

La cicloide tiene la propiedad de ser tautócrona:

Si desde dos puntos, a diferentes alturas de una cicloide invertida, dejamos caer dos bolas, éstas llegan a la vez a la parte más baja a pesar de hacer recorridos diferentes.

Christiann Huygens fue el primero en descubrir esa propiedad y aplicarlo a los relojes de péndulo. Aunque se variase la amplitud del péndulo, el período de tiempo siempre sería el mismo si el recorrido de la lenteja del péndulo fuera el de una cicloide.

Situando el péndulo entre dos topes formados por medias cicloides se consigue el objetivo.

Haz click en "más información" para ver el applet.


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Con el deslizador puedes modificar el tiempo y observar la posición de las dos bolas. Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Las ecuaciones de la cicloide invertida son:
$$x=r\alpha-rsen\alpha \wedge y=rcos\alpha-r$$
La velocidad de caída de una bola desde un punto de la curva a otro inferior es:
$$v_\alpha=\sqrt{2gh}$$$$h=y_\beta-y_\alpha=rcos\beta-rsen\alpha$$$$cos\beta=2cos^2\frac{\beta}{2}-1$$ $$v_\alpha=2\sqrt{gr}\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}$$$$ds=\sqrt{(\frac{dx}{d\alpha})^2+(\frac{dy}{d\alpha})^2}d\alpha=2rsen\frac{\alpha}{2}d\alpha$$$$dt=\frac{ds}{v}=\frac{2rsen\frac{\alpha}{2}}{2\sqrt{gr}\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}}$$ $$t=\sqrt{\frac{r}{g}}\int_\beta^{\pi}\frac{sen\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}}\,\mathrm{d}\alpha=$$ $$2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_0^{cos\frac{\beta}{2}}\frac{1}{\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-u^2}}\,\mathrm{d}u=$$ $$2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{r}{g}}$$

Por tanto, el tiempo recorrido es independiente del punto de partida. Es una constante que depende del parámetro r de la cicloide.

Movimiento armónico simple (II)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) de la  misma dirección:

Misma frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x_1=A_1sen(wt+\phi_1) \wedge x_2=A_2sen(wt+\phi_2)$$
La resultante será:
$$x=x_1+x_2=Asen(wt+\phi)$$
Si están en fase: $$A=A_1+A_2$$ Si están en oposición: $$A=A_1-A_2$$  

Distinta frecuencia:

Las ecuaciones son:
$$x_1=A_1sen(w_1t) \wedge x_2=A_2sen(w_2t)$$ $$A=A_1+A_2$$
La amplitud en general es:
 $$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(w_1-w_2)t}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar la  AMPLITUD, la FRECUENCIA ANGULAR de cada movimiento y el DESFASE entre ellos.
  • Se muestran el PERÍODO, la ELONGACIÓN, la VELOCIDADAD y la ACELERACIÓN de cada movimiento.
  • Se muestran la ELONGACIÓN, la VELOCIDADAD y la ACELERACIÓN del movimiento resultante.
  • Se puede elegir la representación de las elongaciones, velocidades o aceleraciones de los movimientos y de su resultante pulsando el botón correspondiente.
  • Se puede elegir el INTERVALO, de representación de las gráficas de la elongación, velocidad y aceleración del movimiento resultante.
  • Al variar el INSTANTE, cambia la posición del punto en el movimiento, al mismo tiempo que el punto que representa su elongación, su velocidad y su aceleración en las gráficas.
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Movimiento armónico simple (I)

Se llama movimiento ármónico simple (MAS) el que posee un punto que se mueve a lo largo del diámetro de una circunferencia, ocupando en cada instante la proyección sobre dicho diámetro de otro punto auxiliar que recorre la circunferencia, con movimiento circular uniforme.

La elongación es:
$$x=Asen(wt+\phi)$$
Derivando, se obtiene la velocidad:
$$v=-wAcos(wt+\phi)$$
Y volviendo a derivar, se obtiene la aceleración:
$$a=-w^2Asen(wt+\phi)=-w^2x$$
Por tanto el MAS responde a esta ecuación diferencial:
$$\frac{d^2x}{d^2t}+w^2x=0$$
La amplitud y el desfase se pueden obtener de la siguiente manera:
$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0}{w^2}}$$
$$tg\phi=\frac{x_0w}{v_0}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar la  AMPLITUD, el PERÍODO y el DESFASE.
  • Se muestran la FRECUENCIA ANGULAR, la ELONGACIÓN, la VELOCIDADAD y la ACELERACIÓN.
  • Se puede elegir el INTERVALO, de representación de las gráficas correspondientes.
  • Al variar el INSTANTE, cambia la posición del punto en el movimiento, al mismo tiempo que el punto que representa su elongación, su velocidad y su aceleración en las gráficas.
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La cicloide (III)

El matemático y físico del siglo XVII, Christiaan Huygens, fue el primer constructor serio de relojes de péndulo. Construyó uno que tenía una propiedad muy especial: aunque la amplitud del movimiento del péndulo variase , seguía marcando el tiempo igual de bien.
¡Tenía el mismo periódo para cualquier amplitud!

Construyó un péndulo que describiera una cicloide invertida: el péndulo tiene como topes dos arcos de cicloide.
La curva que describía el péndulo era tautócrona: Si dejas caer dos canicas desde dos puntos difrentes de una cicloide invertida, ambas llegan al mismo tiempo al punto más bajo.
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Pulsando el botón de "play" se activa la animación. El deslizador de tiempo permite controlar las posiciones de ambos móviles.

Veamos la justificación de la tautocronía:
Las ecuaciones de la cicloide son: $$x=r \alpha-rsen \alpha \wedge y=rcos \alpha-r$$
Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula: $$v=\sqrt{2g(h_B-h_A)}=\sqrt{2gR(cos \beta-cos \alpha)}$$
Por trigonometría se obtiene: $$v=2\sqrt{Rg}\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}$$

Derivando las ecuaciones de la cicloide:
 $$\frac{dx}{d\alpha}=r-rcos\alpha \wedge \frac{dy}{d\alpha}=-rsen\alpha$$
el elemento de longitud es:
 $$ds=\sqrt{(\frac{dx}{d\alpha})^2+(\frac{dy}{d\alpha})^2}=2Rsen(\frac{\alpha}{2})$$
El elemento de tiempo:
 $$dt=\frac{ds}{v}=\frac{2Rsen(\frac{\alpha}{2})}{2\sqrt{Rg}\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}}$$
E integrando:
$$t=\sqrt{\frac{R}{g}}\int_{\beta}^{\pi}\frac{sen(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}}\,\mathrm{d}\alpha$$
Haciendo los cambios:  $$cos(\frac{\alpha}{2})=u \wedge u=cos(\frac{\beta}{2})x$$
$$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^{cos(\frac{\beta}{2})}\frac{du}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-u^2}}$$
$$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^1\frac{du}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-u^2}}=\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$$