La media derivada

¿Existe un operador, que se comporte como una media derivada?
$$H^2f(x)=Df(x)$$
Existe y estaría representado por:
$$Hf(x)=D^\frac{1}{2}f(x)$$
Más aún,  para todo a>0 real, se puede conseguir un operador:
$$D^af(x)$$ que recibe el nombre de derivada fraccional.

Si tomamos la función potencial: $$f(x)=x^k$$
su derivada a-ésima es:
$$D^ax^k=\frac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}$$
Teniendo en cuenta la función gamma:
$$\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}\,\mathrm{d}z$$
que verifica para números reales positivos:
$$\Gamma(z+1)=z!$$
la derivada a-ésima se expresa como:
$$D^ax^k=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-a)}x^{k-a}$$
Aplicamos la media derivada una primera vez a la función potencial de 2º grado:
$$D^\frac{1}{2}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}x^{3/2}$$
Aplicamos de nuevo la media derivada a la función obtenida: $$\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}D^\frac{1}{2}x^{3/2}=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}\frac{\Gamma(5/2)}{\Gamma(2)}x=2x$$
y observamos que hacer dos medias derivadas equivale a una derivada.

Si es necesario calcular la función gamma para un número fraccionario, se usa la fórmula de duplicación:
$$\Gamma(z)·\Gamma(z+1)=z^{1-2z}·\sqrt {\pi}·\Gamma(2z)$$
Si la derivada n-ésima de la función seno es:
$$D^nsen x=sen(x+n\frac{\pi}{2})$$
podemos extender la derivación para cualquier número real a>0:
$$D^asen x=sen(x+a\frac{\pi}{2})$$

> Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Con el deslizador a podrás elegir la 1ª derivada fraccional y con el deslizador b elegir una 2ª derivación fraccional. Podrás observar que si a+b es un número natural, se obtiene una derivada "tradicional".

El Cálculo Fraccional trata del estudio de los llamados operadores de derivación e integración de orden fraccionario sobre dominios reales o complejos y sus aplicaciones. En realidad dichos operadores surgen con el objetivo de generalizar los conceptos de integración y de derivada para valores no enteros.
El origen del Cálculo Fraccional se remonta a 1675, momento en el que Leibniz introduce la noción de la derivada de orden n de una función. Fue posteriormente en 1695 cuando los primeros resultados publicados son citados en una carta de L'Hôpital a Leibniz, en la cual L'Hôpital plantea la cuestión del posible significado de la derivada de orden n si n=1/2. La respuesta intuitiva en ese momento de Leibniz fue: "...y esto es una paradoja aparente que permitirá en el futuro extraer consecuencias muy útiles".

A partir de aquí, son muchos los matemáticos que han estudiado este tema y han aportado su contribución al desarrollo de lo que hoy conocemos sobre Cálculo Fraccionario. Entre ellos podemos destacar a Euler, Lagrange,Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Grünwald, Letnikov, Holmgren, Cauchy, Hadamard, Hardy, Riesz, Weyl, etc.

Sus aplicaciones van desde el control y la robótica hasta el estudio de los polímeros o las ondas sísmicas.

La cicloide (III)

La cicloide tiene la propiedad de ser tautócrona:

Si desde dos puntos, a diferentes alturas de una cicloide invertida, dejamos caer dos bolas, éstas llegan a la vez a la parte más baja a pesar de hacer recorridos diferentes.

Christiann Huygens fue el primero en descubrir esa propiedad y aplicarlo a los relojes de péndulo. Aunque se variase la amplitud del péndulo, el período de tiempo siempre sería el mismo si el recorrido de la lenteja del péndulo fuera el de una cicloide.

Situando el péndulo entre dos topes formados por medias cicloides se consigue el objetivo.

Haz click en "más información" para ver el applet.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Con el deslizador puedes modificar el tiempo y observar la posición de las dos bolas. Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Las ecuaciones de la cicloide invertida son:
$$x=r\alpha-rsen\alpha \wedge y=rcos\alpha-r$$
La velocidad de caída de una bola desde un punto de la curva a otro inferior es:
$$v_\alpha=\sqrt{2gh}$$$$h=y_\beta-y_\alpha=rcos\beta-rsen\alpha$$$$cos\beta=2cos^2\frac{\beta}{2}-1$$ $$v_\alpha=2\sqrt{gr}\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}$$$$ds=\sqrt{(\frac{dx}{d\alpha})^2+(\frac{dy}{d\alpha})^2}d\alpha=2rsen\frac{\alpha}{2}d\alpha$$$$dt=\frac{ds}{v}=\frac{2rsen\frac{\alpha}{2}}{2\sqrt{gr}\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}}$$ $$t=\sqrt{\frac{r}{g}}\int_\beta^{\pi}\frac{sen\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-cos^2\frac{\alpha}{2}}}\,\mathrm{d}\alpha=$$ $$2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_0^{cos\frac{\beta}{2}}\frac{1}{\sqrt{cos^2\frac{\beta}{2}-u^2}}\,\mathrm{d}u=$$ $$2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{r}{g}}$$

Por tanto, el tiempo recorrido es independiente del punto de partida. Es una constante que depende del parámetro r de la cicloide.

La cicloide (III)

El matemático y físico del siglo XVII, Christiaan Huygens, fue el primer constructor serio de relojes de péndulo. Construyó uno que tenía una propiedad muy especial: aunque la amplitud del movimiento del péndulo variase , seguía marcando el tiempo igual de bien.
¡Tenía el mismo periódo para cualquier amplitud!

Construyó un péndulo que describiera una cicloide invertida: el péndulo tiene como topes dos arcos de cicloide.
La curva que describía el péndulo era tautócrona: Si dejas caer dos canicas desde dos puntos difrentes de una cicloide invertida, ambas llegan al mismo tiempo al punto más bajo.
 Haz click en "más información" para ver el applet.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Pulsando el botón de "play" se activa la animación. El deslizador de tiempo permite controlar las posiciones de ambos móviles.

Veamos la justificación de la tautocronía:
Las ecuaciones de la cicloide son: $$x=r \alpha-rsen \alpha \wedge y=rcos \alpha-r$$
Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula: $$v=\sqrt{2g(h_B-h_A)}=\sqrt{2gR(cos \beta-cos \alpha)}$$
Por trigonometría se obtiene: $$v=2\sqrt{Rg}\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}$$

Derivando las ecuaciones de la cicloide:
 $$\frac{dx}{d\alpha}=r-rcos\alpha \wedge \frac{dy}{d\alpha}=-rsen\alpha$$
el elemento de longitud es:
 $$ds=\sqrt{(\frac{dx}{d\alpha})^2+(\frac{dy}{d\alpha})^2}=2Rsen(\frac{\alpha}{2})$$
El elemento de tiempo:
 $$dt=\frac{ds}{v}=\frac{2Rsen(\frac{\alpha}{2})}{2\sqrt{Rg}\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}}$$
E integrando:
$$t=\sqrt{\frac{R}{g}}\int_{\beta}^{\pi}\frac{sen(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}}\,\mathrm{d}\alpha$$
Haciendo los cambios:  $$cos(\frac{\alpha}{2})=u \wedge u=cos(\frac{\beta}{2})x$$
$$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^{cos(\frac{\beta}{2})}\frac{du}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-u^2}}$$
$$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^1\frac{du}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-u^2}}=\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$$

La cicloide (II)

El problema de la Braquistócrona fue el motivo de una amarga contienda entre los hermanos Johann y Jakob Bernoulli.
Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.
El problema lo propuso Johann sugiriendo que la respuesta correspondía a una curva muy conocida. No se trataba de encontrar puntos donde una curva tiene un máximo o u mínimo, sino que la incógnita buscada es una curva que debe minimizar cierta relación.
La solución era la conocida curva cicloide y fue obtenida de forma distinta por los hermanos Bernoulli. Jakob lo resolvió utilizando un método que sería el inicio del cálculo de variaciones, pero fue la solución de Johann la más genial utilizando de manera combinada la geometría y la física.

Haz click en "más información" para ver el applet.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Sigue la construcción "paso a paso" y con dos deslizadores podrás modificar el ángulo de inclinación de la trayectoria recta y el tamaño de la cicloide. Desactivando la casilla de control podrás ocultar los valores numéricos de velocidad y energías de ambos móviles. El deslizador de tiempo permite observar los valores anteriores para cada posición de los móviles.  Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Veamos la explicación de Johann:

Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula: $$v=\sqrt{2gh}$$ El principio de Fermat dice la luz viaja de un punto a otro en el menor tiempo posible. Si atraviesa dos medios distintos se cumple la ley de la refracción: $$\frac{sen \theta_1}{v_1}=\frac{sen \theta_2}{v_2}=k$$
Supongamos un medio óptico formado por finas láminas diferentes:
$$\frac{sen\theta_i}{v_i}=k$$
En nuestro problema se cumple: $$\frac{sen\theta}{\sqrt{2gh}}=k$$ siendo el ángulo el que forma la tangente a la curva con la vertical en cada instante.

Derivando las ecuaciones de la cicloide: $$x=r \alpha-rsen \alpha \wedge y=rcos \alpha-r$$
$$\frac{dx}{d\alpha}=r-rcos\alpha \wedge \frac{dy}{d\alpha}=-rsen\alpha$$
$$tg\theta=\frac{dx}{dy}=\frac{1-cos\alpha}{-sen\alpha}=-tg\frac{\alpha}{2}$$
$$\theta=|\frac{\alpha}{2}|$$
$$v=\sqrt{2gr(1-cos\alpha)}=2\sqrt{gr}sen\frac{\alpha}{2}$$
$$\frac{sen\theta}{v}=\frac{sen\frac{\alpha}{2}}{2sen\frac{\alpha}{2}\sqrt{gr}}=\frac{1}{2\sqrt{gr}}$$
que es una constante y por tanto cumple la ley de Fermat.

Desintegración radiactiva

El número de átomos que se desintegran en un tiempo dado es directamente proporcional al número de átomos presentes en la muestra. La constante de proporcionalidad es conocida como la constante de desintegración.
$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$
Separando las variables:
$$\frac{dN}{N}=-\lambda t$$
e integrando:
$$\int_{N_0}^N\frac{dN}{N}=-\int_0^t\lambda t dt$$
se obtiene que el número de átomos en función del tiempo:
$$N=N_0 e^{-\lambda t}$$
Se llama periodo de semidesintegración al tiempo t1/2, para el cual, el número de núcleos iniciales se reduce a la mitad. Cada sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración. Por tanto, si:
$$N=N_0/2$$
$$t_{1/2}=\frac{ln2}{\lambda}$$
La vida media es el valor medio de duración de los átomos de una sustancia radiactiva:
$$\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{t_{1/2}}{0,693}$$
La velocidad de desintegración o actividad radiactiva, es la tasa de variación del número de núcleos radiactivos por unidad de tiempo:
$$A(t)=-\frac{dN(t)}{dt}$$
es directamente proporcional al número de átomos presentes en la muestra:
$$A(t)=-(-\lambda N_0)e^{-\lambda t}=A_0e^{-\lambda t}=\lambda N(t)$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

  • Se puede modificar el PERÍODO, el PESO ATÓMICO y la MASA INICIAL en gramos.
  • Se puede representar la gráfica hasta un tiempo determinado y recorrerla mediante un punto que corresponde a un instante concreto y observar el número de átomos, la actividad y los gramos.
  • Se muestran los átomos, la actividad y los gramos en una tabla.
  • Se muestran también, la constante de desintegracción y la vida media.
  • Al avanzar en el tiempo las partículas se desintegran desapareciendo de pantalla.
  • El botón INICIAR genera y distribuye aletoriamente en el cuadrado las diferentes partículas.
Descargar .XLS

Permutaciones y estrategias

Como abrir una caja fuerte

Un equipo de 5 personas deben abrir una caja fuerte cuya clave consta de 5 dígitos comprendidos entre 0 y 9. Cada persona conoce una de las cifras del código, por ejemplo 3, 7, 6, 5 y 2. Cada persona accede a la caja fuerte en ese orden, sin poder comunicar con los demás.

Los dígitos del teclado se han intercambiado de manera aleatoria y cada persona dispone de 5 intentos para dar con la cifra correcta. A la sexta pulsación el sistema de seguridad bloquea el teclado y ya no se puede abrir la caja fuerte.

Si cada persona escogiera las teclas al azar, la probabilidad de pode abrir la caja fuerte sería:
$$(1/2)^5=3,125 \%$$
¡Podemos multiplicar por algo más de diez la probabilidad de éxito!
  • Comenzar por la tecla marcada con el dígito deseado.
  • Si la cifra que aparece es la correcta, confirmar. Si no, borrar y pulsar la tecla del dígito aparecido.
  • Repetir la operación hasta dar con el número correcto o hasta agotar los intentos.
Supongamos que se ha generado, de manera aleatoria, la siguiente permutación:
 Todas las cifras se obtienen a la 5ª pulsación, por ejemplo para el 3, aparecen sucesivamente 6, 9, 5, 8 y 3.
Esto ocurre porque la permutación tiene dos "ciclos" de 5 elementos, el anterior y el formado por 0, 1, 2, 4, 7.
 En cambio si la permutación aleatora fuera:
habría un ciclo de 9 elementos: 6, 9, 5, 8, 4, 0, 1, 2, 3 y un ciclo de un sólo elemento: 7.
 Por tanto, si el dígito pertenece a un ciclo de más de 5 elementos se pierde.

¿Por qué esta estrategia es la óptima? 

Lógicamente, ninguna permutación puede contener un ciclo de más de 6 elementos. Estas permutaciones, teniendo en cuenta las diferentes ordenaciones que se pueden obtener, para n>5 son:
$$\binom {10} {n}(n-1)!(10-n)!=\frac{10!}{n}$$
Como hay 10! permutaciones de 10 dígitos, la probabilidad de que una de ellas contenga un ciclo de n>5 elementos es 1/n.
Por tanto la probabilidad de abrir la caja fuerte es:
$$1-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\simeq35,4\%$$

Supongamos que 100 prisioneros son llevados a una habitación en la que hay un fichero con 100 cajones, cada uno de los cuales contiene el nombre de cada uno de los reclusos.

Uno por uno, los prisioneros pueden acceder al fichero y abrir hasta un máximo de 50 cajones, para luego dejar todo como estaba. No pueden comunicarse entre si una vez haya empezado el proceso.

Para salir libres, cada recluso deberá encontrar su nombre en alguno de los cajones que abra; si no ocurre, todos serán ejecutados. El carcelero coloca los nombres de manera aleatoria en los cajones para entorpecer el plan de los reclusos.

Este problema es análogo al anterior. Si los reclusos fueran abriendo los cajones al azar, la probabilidad de salvarse sería:
$$(1/2)^{100}$$
Pero si eligen la misma estrategia que en el caso de la caja fuerte, el  número de permutaciones con ciclos con n>50 es:
$$\binom {100} {n}(n-1)!(100-n)!=\frac{100!}{n}$$
Como hay 100! permutaciones de 100 nombres, la probabilidad de que una de ellas contenga un ciclo de n>50 elementos es también 1/n.

Por tanto la probabilidad de salvarse los 100 presos es:
$$1-\frac{1}{51}-\frac{1}{52}...-\frac{1}{100}\simeq31,2\%$$
Si fueran 1000 presos y abrieran hasta 500 cajones, la probabilidad de salvese sería 30,7%.

Se observa que siempre se suman términos consecutivos de la serie armónica. Esta serie es divergente y se puede comparar con la función ln (n), de acuerdo con las expresiones:
$$H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$ $$\int_1^n\frac{1}{x}dx=ln(n)$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}H_n-ln(n)=\gamma\simeq0,58$$ que es la constante de Euler-Mascheroni.

La probabilidad de perder, son sumas de términos de la serie armónica del tipo:
$$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=H_{2n}-H_n$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}H_{2n}-\lim\limits_{n\to\infty}H_{n}=ln(2n)+\gamma-ln(n)-\gamma=ln(2)\simeq0,69314718$$
¡Aunque el número de prisoneros crezca infinitamente, siguiendo la misma estrategia, siempre tendrán una probabilidad de salvarse superior al 30%!

Basado en un artículo de Investigación y Ciencia de Gabriel Uzquiano