La tiranía de la mayoría

Alexis de Tocqueville (1805-1859), fue un pensador, jurista, político e historiador francés, precursor de la sociología clásica y uno de los más importantes ideólogos del liberalismo. En su obra Democracia en América, anunciaba potenciales amenazas para la joven república norteamericana. Lo esencial en democracia es que la minoría (sea pequeña o casi la mitad del electorado) tenga siempre voz, sea escuchada y respetada, como también en algún momento intervenga en los actos de gobierno. El respeto a disentir sigue siendo lo fundamental, lo definitorio del proceso democrático.

A continuación se muestra una situación en que se analiza la presencia o no de la Tiranía de la Mayoría al aplicar el método de votación de la media. Supongamos que los extranjeros residentes en una ciudad necesitan tener asistencia sanitaria. Para ellos es una necesidad básica, pero para el resto de la población supone más impuestos. Los deseos de la Minoría entran en conflicto con la Mayoría. De acuerdo con estos criterios, en un votación la Minoría puntúa con 9 la asistencia sanitaria y con 0 no tener la prestación. En cambio el resto de la población valora con un 4 la asistencia y con un 5 lo contrario.

Distinguimos entre el SI o el NO a la asistencia sanitaria y se calculan las puntuaciones medias de las dos opciones cuando la Minoría es del 10%:
\begin{equation*}\label{lan} \overline{x}(NO)=\frac{10 \cdot 0+ 90\cdot 5}{100}=4.5 \ \wedge \ \overline{x}(SI)=\frac{10 \cdot 9+ 90\cdot 4}{100}=4.5 \end{equation*}
Se observa que coinciden y por tanto cuando la Minoría supere el 10% de la población conseguirá ganar la votación.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar las valoraciones de la minoría y de la mayoría.
  • Se puede modificar el porcentaje que representa la minoría.
  • Se puede observar cuando gana la mayoría o la minoría.
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Nadal VS Federer

Supongamos que un jugador de tenis (Rafa Nadal) tiene una probabilidad p de ganar un point a su contrincante (Roger Federer). La probabilidad de que pierda será q, siendo p+q=1. ¿Qué probabilidad tendrá de ganar un game? ¿Y un set? ¿Y un match?

En una serie de tablas se muestran las posibles evoluciones de un game, un tie-break, un set con tie-break, un set sin tie-break y un match.
Las celdas con números en rojo corresponden a momentos de ventaja de Nadal, las celdas con números en azul indican situaciones de ventaja de Federer y las que tienen los números en negro indican situaciones de empate. Las celdas con los números en negrita indican situación de ganador de alguno de ellos.

Probabilidad de ganar un game:

Los números de la tabla recogen las distintas posibilidades de alcanzar un tanteo concreto. La celda con el 2 corresponde al tanteo 15-15 e indica que se puede alcanzar ese resultado de dos formas distintas: 15-0 ->15-15 o bien 0-15 -> 15-15. Se observa que cada celda es la suma de la celda de su izquierda y de su celda superior (siempre que existan ambas). Sabemos que en tenis se han de conseguir dos puntos de diferencia para adjudicarse el juego y conseguir al menos cuatro points.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un point:
$$p(game)=p^4+4p^4q+10p^4q^2+^20p^5q^3+40p^6q^3+80p^7q^3+\cdots$$
$$p(game)=p^4+4p^4q+10p^4q^2(1+2pq+4p^2q^2+8p^3q^3+\cdots)$$
$$p(game)=p^4+4p^4q+\frac{10p^4q^2}{1-2pq}$$

Probabilidad de ganar un tie-break:

Un tie-break es una forma de terminar un game de manera más rápida. Si se llega a un empate a 6 games, se juega un último game de desempate que se consigue con 7 points con diferencia de dos. En caso contrario se siguen jugando points hasta conseguir esa diferencia.

De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un point:
$$p(tie-break)=p^7+7p^7q+28p^7q^2+84p^7q^3+210p^7q^4+\frac{462p^7q^5}{1-2pq}$$
Probabilidad de ganar un set sin tie-break:

Un set se consigue con 6 games y una diferencia de dos. En caso de no conseguir esa diferencia con 6 games, se debe continuar hasta conseguirla.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad de conseguir un game:
$$p(set)=p^6+6p^6q+21p^6q^2+56p^6q^3+\frac{126p^6q^4}{1-2pq}$$
Probabilidad de ganar un set con  tie-break:


Un set se consigue con 6 games y una diferencia de dos. En caso de llegar a empate a 6 games se juega un tie-break.

De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un game y un  tie-break:
$$p(set)=p^6+6p^q+21p^6q^2+56p^6q^3+126p^6q^4+252p^7q^5+504p^6q^6P$$
 siendo P la probabilidad de tie-break.

Probabilidad de ganar un match:

Un match se consigue ganando 3 setsEn caso de empate a 2 sets el último se juega con tie-breakHay competiciones en que es suficiente ganar 2 sets y el set de desempate también es con tie-break.
De acuerdo con la tabla y teniendo en cuenta la probabilidad p de conseguir un set:
$$p(match)=p^3+3p^3q+6p^2q^2P$$
siendo P la probabilidad de set con tie-break.


Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede elegir la probabilidad de ganar un point.
  • Se obtienen las probabilidades de ganar un game, un set sin tie-break, un tie-break, un set con tie-break y un match.
  • Las gráficas representan las probabilidades anteriores en función de la probabilidad de ganar un point

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  • Basado en el capítulo El tenista ebrio del libro Ingeniosos encuentros entre juegos y matemática de Ian Stewart.

Trigonometría del cuadrado

El círculo no es el único sistema para desarrolla una trigonometría. Sustituyendo el círculo unitario por un cuadrado de lado unidad se obtiene la trigonometría del cuadrado.

Al recorrer un punto P(x,y) los lados del cuadrado se definen las siguientes C funciones trigonométricas:
$$Csen \alpha=x+y$$ $$Ccos\alpha=x-y$$ $$Ctg \alpha=Csen \alpha \cdot Ccos \alpha=x^2-y^2$$ Por métodos algebraicos y utilizando la simetría se pueden obtener las tablas del seno, coseno y tangente de los ángulos más representativos (30º, 45,º 60º, 90º,...360º) y así construir las gráficas de las funciones correspondientes.


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Al mover el punto A a lo largo del cuadrado se obtienen los puntos de las funciones seleccionadas y por tanto las gráficas correspondientes. Esto permite estudiar las propiedades de esas funciones y compararlas con las de la trigonometría clásica.
Se pueden visualizar o no las trazas de las funciones correspondientes utilizando las casillas de control. Se borran las trazas con ctrl+F.
  • Basado en un trabajo realizado por estudiantes del Instituto Pedagógico Nacional de Bogotá.

La media derivada

¿Existe un operador, que se comporte como una media derivada?
$$H^2f(x)=Df(x)$$
Existe y estaría representado por:
$$Hf(x)=D^\frac{1}{2}f(x)$$
Más aún,  para todo a>0 real, se puede conseguir un operador:
$$D^af(x)$$ que recibe el nombre de derivada fraccional.

Si tomamos la función potencial: $$f(x)=x^k$$
su derivada a-ésima es:
$$D^ax^k=\frac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}$$
Teniendo en cuenta la función gamma:
$$\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}\,\mathrm{d}z$$
que verifica para números reales positivos:
$$\Gamma(z+1)=z!$$
la derivada a-ésima se expresa como:
$$D^ax^k=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-a)}x^{k-a}$$
Aplicamos la media derivada una primera vez a la función potencial de 2º grado:
$$D^\frac{1}{2}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}x^{3/2}$$
Aplicamos de nuevo la media derivada a la función obtenida: $$\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}D^\frac{1}{2}x^{3/2}=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}\frac{\Gamma(5/2)}{\Gamma(2)}x=2x$$
y observamos que hacer dos medias derivadas equivale a una derivada.

Si es necesario calcular la función gamma para un número fraccionario, se usa la fórmula de duplicación:
$$\Gamma(z)·\Gamma(z+1)=z^{1-2z}·\sqrt {\pi}·\Gamma(2z)$$
Si la derivada n-ésima de la función seno es:
$$D^nsen x=sen(x+n\frac{\pi}{2})$$
podemos extender la derivación para cualquier número real a>0:
$$D^asen x=sen(x+a\frac{\pi}{2})$$

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Con el deslizador a podrás elegir la 1ª derivada fraccional y con el deslizador b elegir una 2ª derivación fraccional. Podrás observar que si a+b es un número natural, se obtiene una derivada "tradicional".

El Cálculo Fraccional trata del estudio de los llamados operadores de derivación e integración de orden fraccionario sobre dominios reales o complejos y sus aplicaciones. En realidad dichos operadores surgen con el objetivo de generalizar los conceptos de integración y de derivada para valores no enteros.
El origen del Cálculo Fraccional se remonta a 1675, momento en el que Leibniz introduce la noción de la derivada de orden n de una función. Fue posteriormente en 1695 cuando los primeros resultados publicados son citados en una carta de L'Hôpital a Leibniz, en la cual L'Hôpital plantea la cuestión del posible significado de la derivada de orden n si n=1/2. La respuesta intuitiva en ese momento de Leibniz fue: "...y esto es una paradoja aparente que permitirá en el futuro extraer consecuencias muy útiles".

A partir de aquí, son muchos los matemáticos que han estudiado este tema y han aportado su contribución al desarrollo de lo que hoy conocemos sobre Cálculo Fraccionario. Entre ellos podemos destacar a Euler, Lagrange,Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Grünwald, Letnikov, Holmgren, Cauchy, Hadamard, Hardy, Riesz, Weyl, etc.

Sus aplicaciones van desde el control y la robótica hasta el estudio de los polímeros o las ondas sísmicas.

Las fórmulas de las pensiones


 Con el fin de conseguir la sostenibilidad del sistema de pensiones en España, un grupo de "12 sabios"  han propuesto dos fórmulas perversas.
Factor Equidad Intergeneracional

Con este nombre tan solidario, se pretende adecuar la pensión a la esperanza de vida. Como ésta va aumentando cada año, el valor de la pensión en el momento de la jubilación se irá reduciendo cada año que pase. Ni siquiera "adelantando" nuestra muerte, mejoraríamos la pensión, pues se trabaja con valores de vida media y no sobre las expectativas personales. Tampoco los hombres, que viven de media menos que las mujeres, tendrían una compensación porque el cálculo se hace sin tener en cuenta el sexo.
$$FEI_{j,t+s}=S_{j,t+s}\frac{e_{j,t}}{e_{j,t+s}}$$
siendo
$$S_{j,t+s}$$
pensión inicial de jubilación.
$$e_{j,t}$$
esperanza de vida de los que han entrado en el sistema s años antes.
$$e_{j,t+s}$$
esperanza de vida de los pensionistas el año de su jubilación.

Factor Revalorización Anual

Se pretende desvincular la actualización de las pensiones del Índice de Precios al Consumo (IPC) y relacionarlo con otras variables. Sólo cuando los ingresos del sistema superen a los gastos podrían subir las pensiones, siempre que el número de pensionistas y el valor de la pensión media lo permitan.

$$g_{t+1}=\overline{g}_{í,t+1}-\overline{g}_{p,t+1}-\overline{g}_{s,t+1}+\alpha \{\frac{I_t^*-G_t^*}{G_t^*}\}$$
siendo
$$g_{t+1}$$
la tasa de crecimiento nominal de la pensión.
$$\overline{g}_{í,t+1}$$
la tasa de crecimiento de los ingresos del sistema.
$$\overline{g}_{p,t+1}$$
la tasa de crecimiento del número de pensionistas.
$$\overline{g}_{s,t+1}$$
tasa de crecimiento de la pensión media, debida a la diferencia entre altas y bajas.

Las variables con el símbolo [-] se refieren a medias aritméticas móviles tomando los 5 años anteriores, el actual y los 5 años siguientes.

$$I_t^*$$
los ingresos del sistema del año anterior.
$$G_t^*$$
los gastos del sistema del año anterior.

Las variables con el símbolo [*] se refieren a medias geométricas móviles tomando los 5 años anteriores, el actual y los 5 años siguientes.

$$\alpha$$
factor entre 0 y 1 que marca el ritmo de corrección del desequilibrio presupuestario (decisión del gobierno).

El Algebrista

Letra de Enzo R. Gentile
Música del tango “Mano a mano”

Algebrista te volviste
refinado hasta la esencia
oligarca de la ciencia
matemático bacán.

Hoy mirás a los que sudan
en las otras disciplinas
como dama a pobres minas
que laburan por el pan.

¿Te acordás que en otros tiempos
sin mayores pretensiones
mendigabas soluciones
a una mísera ecuación?

Hoy la vas de riguroso
revisás los postulados
y junás por todos lados
la más vil definición.

Pero no engrupís a nadie
y es inútil que te embales
con anillos, con ideales
y con álgebras de Boole.

Todos saben que hace poco
resolviste hasta matrices
y rastreabas las raíces
con el método de Sturn.

Pero puede que algún día
con las vueltas de la vida
tanta cáscara aburrida
te llegue a cansar al fin.

Y añores tal vez el día
que sin álgebras abstractas
y con dos cifras exactas
te sentías tan feliz.

Si querés cantar el tango aquí tenés la música.

Esher, Bach y Aquiles

¡¡Lee cuidadosamente el siguiente diálogo!!

Crab Canon

Achilles and the Tortoise happen upon each other
in the park one day while strolling.
Tortuga: Buen día, Sr Aquiles.

Aquiles: Vaya, lo mismo digo.

T: Qué agradable encontrarte.

A: Eso mismo pienso yo.

T: Y es un día perfecto para un paseo. Creo que me iré a casa andando.

A: ¿Ah sí? Supongo que no hay nada mejor para ti que andar.

T: A propósito, hay que reconocer que parece que estás en buena forma últimamente.

A: Muchas gracias.

T: De nada1. ¿Te apetece uno de mis puros?.

A: ¡Oh! Eres tan ignorante. En este tema los holandeses tienen un gusto bastante discutible. ¿No crees?.

T: No estoy de acuerdo, en este caso. Pero hablando de gustos, por fin vi el otro día, Crab2 Canon de tu artista favorito M.C. Escher en una galería, y aprecio completamente la belleza y la ingenuidad con las que consigue que un simple tema se combine tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero me temo que siempre pensaré que Bach es superior a Escher.

A: No lo sé. Pero una cosa segura es que no me preocupan las discusiones sobre gustos. "De gustibus non est disputandum".

T: Dime, ¿cómo llevas lo de la edad? ¿Es cierto que ya no se tienen preocupaciones?.

A: Para ser exacto uno ya no tiene neuras.

T: ¡Oh!, bien, lo mismo me ocurre a mí.

A: Tocar el violín. Eso marca la gran diferencia, ¿sabes?.

T: Dime, ¿no tocas la guitarra?.

A: Eso lo hace un buen amigo mío. A menudo toca, el tonto3. Pero yo no tocaría la guitarra con un palo4 de diez pies.

Rápidamente, el cangrejo, aparece de repente y deambula excitado.



Cangrejo: ¡Hola! ¡hola! ¿Qué pasa? ¿Qué hay de nuevo? ¿Ves este golpe, este chichón? Me lo ha dado un malhumorado. ¡Oh! Y en un día tan bonito. Mira, estaba yo simplemente holgazaneando por el parque, cuando apareció este tío gigante de Varsovia., -un trozo de oso colosal- tocando un laúd. Medía tres metros de altura. Me acerqué al tipo, que llegaba hasta el cielo, y me las apañé para darle unas palmaditas en la rodilla, diciéndole "Perdón, señor, pero está contaminando5 con sus mazurcas". ¡Pero guau!, no tenía ni una pizca de sentido del humor y ¡pof! me dio un manotazo en el ojo. Si me hubiera dejado llevar me habría enfurecido, pero siguiendo la larga tradición de mi especie, me retiré. Después de todo, cuando caminamos hacia adelante, nos movemos hacia atrás. Está en nuestros genes, ¿sabes?. Siempre me lo he preguntado: ¿qué fue primero el cangrejo o el gen?. Es decir, ¿qué vino después, el gen o el cangrejo? Siempre le doy vueltas y vueltas a las cosas. Está en nuestros genes después de todo. Cuando caminamos hacia atrás, nos movemos hacia adelante. ¡Oh, Dios!, debo seguir mi feliz camino, así que me voy en un día tan bueno cantando ¡Oh, por la vida de un cangrejo! ¡TATA! ¡olé!

Y desapareció tan rápido como llegó.

T: Eso lo hace un buen amigo mío. A menudo hace el tonto3. Pero yo no tocaría a un polaco4 con una guitarra.

A: Dime, ¿no tocas la guitarra?.

T: El violín. Eso marca la gran diferencia, ¿sabes?.

A: ¡Oh!, bien, lo mismo me ocurre a mí.

T: Para ser exacto uno ya no tiene neuras.

A: Dime, ¿cómo llevas lo de la edad? ¿Es cierto que ya no se tienen preocupaciones?.

T: No lo sé. Pero una cosa segura es que no me preocupan las discusiones sobre gustos. "De disputandum non est gustibus".

A: No estoy de acuerdo, en este caso. Pero hablando de gustos, por fin oí el otro día, Crab canon de tu compositor favorito J.S. Bach en un concierto, y aprecio completamente la belleza y la ingenuidad con las que consigue que un simple tema se combine tanto hacia adelante como hacia atrás. Pero me temo que siempre pensaré que Escher es superior a Bach.

T: ¡Oh! Eres tan ignorante. En este tema los holandeses tienen un gusto bastante discutible. ¿No crees?.

A: De ninguna manera1. ¿Te apetece uno de mis puros?.

T: Muchas gracias.

A: A propósito, hay que reconocer que parece que estás en buena forma últimamente.

T: ¿Ah sí? Supongo que no hay nada mejor para ti que andar.

A: Y es un día perfecto para un paseo. Creo que me iré a casa andando.

T: Eso mismo pienso yo.

A: Qué agradable encontrarte.

T: Vaya, lo mismo digo.

A: Buen día, Sra Tortuga.
1 en inglés not at all en ambos casos

2 crab es cangrejo en inglés

3 en inglés aparece primero: He often plays, the fool y luego: He often plays the fool

4 pole en inglés significa indistintamente palo y polaco

5 en inglés Pole-luting, juego de palabras entre contaminando y polaco-tocar el laúd

Traducido del libro: " Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid"
Douglas R. Hofstadter.


Observa que el diálogo se repite terminando igual que empieza, es un "palíndromo". Esto mismo es lo que ocurre en el crab canon de Bach y en muchas figuras de Escher.

El reparto de la tarta

Queremos celebrar el "post" número 100, mediante una tarta que queremos repartir entre nuestros visitantes:
El problema consiste en cuántos trozos queda dividida la tarta en función del número de cortes:

Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes.
¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes lograr con seis cortes rectos? ¿Y en general, cuántos pedazos de tarta se obtienen con n cortes?

En vez de resolver este problema por medio del ensayo y el error, una manera mejor es descubrir la regla que nos dará el mayor número de partes que pueden obtenerse con cualquier número de cortes.

El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que cuando se hace el corte t1 se suma una parte más, lo que da dos partes en total. El corte t2 suma dos partes más, totalizando 4 y el corte t3 suma tres partes más, totalizando 7.

Parece que cada corte suma un número de partes que es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resulta difícil observar por qué.

Considérese, por ejemplo, el tercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esas tres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, y las tres secciones, naturalmente, agregarán tres pedazos.

Lo mismo ocurre en el caso de la cuarta línea. Puede marcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en cuatro secciones. Cada sección agrega un pedazo extra, de modo que las cuatro secciones agregarán cuatro pedazos más. y lo mismo ocurre en el caso de la quinta línea, de la sexta y de todas las que deseemos agregar.

Este tipo de razonamiento, que va desde el caso particular hasta un número infinito de casos, se conoce como inducción matemática.

Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer una lista que muestre el mayor número de partes que producirá cada corte:
  • número de cortes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
  • número de partes: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,...
¿Cuántas partes pueden hacerse con siete cortes? ¿Y con n cortes?

Sólo tenemos que sumar 7 a 22 para saber que la respuesta es 29. La ilustración muestra cómo puede lograrse que seis cortes produzcan 22 partes:
$$t_0=1;$$ $$t_1=t_0+1=2;$$ $$t_2=t_1+2=4;$$ $$t_3=t_2+3=7;$$
$$t_4=t_3+4=11;$$ $$t_5=t_4+5=16;$$ $$ t_6=t_5+5=22...$$

El término general "parece" ser: $$t_n=t_n_-_1+n$$

Podemos expresarlo de la siguiente manera:

$$t_n=t_n_-_1+n=$$$$t_n_-_1+(n-1)+n=$$$$t_n_-_2+(n-2)+(n-1)+n=$$
$$...=t_0+[1+2+3...(n-2)+(n-1)+n]$$$$=1+\frac{1}{2}(1+n)n=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+2$$

Para validar la fórmula hay que demostrarla por inducción:
$$t_n_+_1=t_n+n+1=(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+1)+n+1=\frac{1}{2}n^2+\frac{3n}{2}+2$$

Si desarrollamos la expresión: $$\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{2}(n+1)+1$$ se obtiene la misma expresión y por tanto queda demostrado.

Otra forma de obtener el término general es observar que las 2ª diferencias entre valores consecutivos son constantes:
  • términos:1, 2, 4, 7, 11, 16, 22..
  • 1ª diferencias: 1, 2, 3, 4, 5, 6..
  • 2ª diferencias: 1, 1, 1, 1, 1...
y por tanto "parece" que se ajustan a una parábola y resolviendo el sistema tomando tres términos conocidos, se obtiene también la expresión del término general.