Teorema de Viviani

En un triángulo equilátero la suma de las tres distancias de un punto interior a los lados del triángulo es una indepenediente de la posición del punto y que coincide con la altura del tríángulo.

Demostración:

El triangulo equilátero ABC se puede descomponer en los triángulos: ADB, BDC y ADC siendo D el punto interior. Si el lado del triángulo es l, la altura h y las distancias de D a los lados d1, d2 y d3, se cumple: $$\frac{l \cdot h}{2}=\frac{l \cdot d_1}{2}+\frac{l \cdot d_2}{2}+\frac{l \cdot d_3}{2}$$ $$h=d_1+d_2+d_3$$ El teorema es generalizable a polígonos regulares.

Sigue la construcción "paso a paso" y desplazando los vertices A y B del triángulo puedes cambiar su tamaño y orientación. Al mover el punto D interior al triángulo se comprueba el teorema de Viviani.

Teorema de Kurschak

Determina el área de un dodecaedro regular a partir de los puntos medios de los lados de un cuadrado. Se debe al matemático húngaro Jozsef Kurschak (1864-1933).
Sobre cada uno de los lados de un cuadrado se construyen 4 triángulos equiláteros interiores.Las 8 intersecciones de los lados de esos triángulos y los 4 puntos medios de los lados del nuevo cuadrado formado por los vértices libres de los triángulos, son los vértices de un dodecaedro regular y pasan por la circunferencia inscrita al cuadrado inicial.
En la construcción se observan dos tipos de pequeños triángulos, unos son equiláteros (E) y otros son isósceles (I).
Se observa que el área del cuadrado está formada por 16 triángulos E y 32 triángulos I. $$A_c=16\cdot E +32\cdot I$$ Por otra parte el área del dodecaedro está formada por 12 triángulos E y 24 triángulos I. $$A_d=12\cdot E +24 \cdot I$$ Por tanto: $$A_d=\frac{3}{4}A_c$$ Si la circunferencia inscrita al cuadrado inicial es unitaria (radio unidad) su área vale pi, el área del cuadrado vale 4 y por tanto el área del dodecaedro vale 3.

Se puede modificar el cuadrado desplazando sus vértices inferiores. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Teorema de Bottama

Un grupo de piratas llega a una isla para enterrar un tesoro. En la isla hay una piedra y dos cocoteros. El capitán manda a dos piratas que partiendo desde la piedra caminen hasta un cocotero cada uno. Al llegar a los cocoteros giran 90º y caminan, alejándose uno del otro, la misma distancia que separa la piedra del cocotero en cada caso. El capitán entierra el tesoro en el punto medio de las posiciones alcanzadas por los piratas. Con el tiempo, los piratas vuelven a por el tesoro y encuentran los cocoteros, pero la piedra ya no estaba. Afortunadamente, el capitán conocía el teorema de Bottema y en pocos minutos señaló el lugar exacto donde estaba enterrado el tesoro.

El teorema afirma lo siguiente:

"Si dibujamos dos cuadrados con un vértice común y trazamos el segmento que une los vértices más distantes, el punto medio de este segmento no depende de la posición del vértice que une dichos cuadrados".

Se pueden modificar las posiciones de la piedra (P), los cocoteros (C) y el tesoro (T). Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Para demostrar el teorema se construye un paralelogramo donde los puntos D y E son las proyecciones de los puntos B y A sobre el segmento que une los puntos donde se sitúan los cocoteros.

T es el punto medio de AB y por tanto TH es la base media del paralelogramo ABDE: $$TH=\frac{BD+AE}{2}$$ Por construcción $$\widehat{BC_2P}=90º$$ y por tanto los ángulos son complementarios: $$BC_2D=90º- PC_2G$$ Se deduce que los triángulos: $$BC_2D \wedge PC_2G$$ son rectángulos e iguales, y por tanto se verifica que: $$BD=C_2G$$ Razonando de manera análoga se cumple que: $$AE=GC_1$$ Sustituyendo en la fórmula inicial: $$TH=\frac{BD+AE}{2}=\frac{C_2G+GC_1}{2}=C_2H=HC_1$$ pues el triángulo rectángulo: $$TC_1C_2$$ es isósceles.Por tanto TH no depende de la posición de P.

Los piratas, partiendo de un punto cualquiera, situado en la zona donde escondieron el tesoro, repiten el proceso y lo encuentran ya que como indica el teorema de Bottema el punto de partida no influye para encontrar el tesoro. Hay una forma más rápida que sería situados un pirata en cada cococtero y girando 45º cada uno hacia la zona del tesoro, avanzar el mismo número de pasos hasta encontrarse y allí estaría el tesoro.

Teorema de Miquel (II)

Otro teorema geométrico de Auguste Miquel es el siguiente:

Sea un pentágono cualquiera ABCDE. Se prolongan las lados hasta su intersección en los puntos F, G, H. I y J respectivamente. Se trazan las circunferencias que pasan por tres puntos ABF, BCG, CDH, DEI y EAJ. Estas circunferencias se cortan de dos en dos en un vértice del pentágono y en otro punto. Estos puntos P, Q, R, S y T pertenecen a la misma circunferencia.



Se puede modificar el pentágono desplazando sus vértices A, B, C, D y E. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Teorema de Miquel (I)

El matemático francés Auguste Miquel enunció en 1838 el siguiente teorema geométrico: Sea un triángulo cualquiera ABC. Sobre sus lados se sitúan los puntos D, E y F que se pueden desplazar a lo largo de los lados CB, AC y AB respectivamente. Se trazan las circunferencias: $$ AEF, BDF, CDE$$ que pasan por un vértice y los puntos móviles adyacentes. Entonces las tres circunferencia se cortan en un punto común M, llamado punto de Miquel.
Además si se trazan los segmentos: $$MD, ME, MF$$ que unen el punto de Miquel con los puntos móviles, se observa que los ángulos: $$\widehat{AFM}=\widehat{BDM}=\widehat{CEM}$$

Se puede modificar el triángulo desplazando sus vértices A, B y C. Tambíen mover los puntos D, E y F situados sobre los lados y así comprobar el teorema. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

La media aritmética y otras medias (II)

El matemático alemán Otto Hölder propuso una definición generalizada de la media. Esta media depende de un parámetro que para determinados valores dan lugar a las medias conocidas. $$\overline x (k)=\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i^k} \right )^{1/k} \rightarrow \overline x (k)=\left [\frac{1}{2}(a^k+b^k) \right ]^{1/k}$$ Se muestra la fórmula para n valores y la que se va a utilizar para dos valores a y b.
  • ARITMÉTICA: $$k=1 \rightarrow A=\frac{a+b}{2}$$
  • CUADRÁTICA: $$k=2 \rightarrow Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$
  • ARMÓNICA: $$k=-1 \rightarrow H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
  • GEOMÉTRICA: $$k \rightarrow 0 \rightarrow G=\sqrt{ab}$$
Veamos la obtención de la última media: $$\lim_{k \to 0}\left [\frac{1}{2} (a^k+b^k) \right ]^{1/k}=1^\infty$$ Recordando que si: $$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=1^\infty$$ se puede hacer el cambio: $$f(x)=1+h(x) \wedge \lim_{x \to a}h(x)=0$$ $$ \lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}= \lim_{x \to a}\left [ 1+h(x)\right ]^{\frac{1}{h(x)}h(x)g(x)}=$$ $$\lim_{x \to a}e^{h(x)g(x)}=\lim_{x \to a}e^{(f(x)-1)g(x)}$$ Aplicando el algoritmo a nuestro caso: $$\lim_{k \to 0}\left [ \frac{1}{2}(a^k+b^k) -1\right ]\frac{1}{k}=\frac{0}{0}$$ y aplicando la regla de l'Hôpital: $$\lim_{k \to 0}\frac{1}{2}\frac{(a^kLa+b^kLb)}{1}=\frac{1}{2}(La+Lb)=L(ab)^{1/2}$$ Por tanto, el límite es: $$e^{L(ab)^{1/2}}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}$$
Desplazando el segmento FG=d entre las dos bases del trapecio isósceles se consiguen las diferentes medias:

  • ARITMÉTICA: Cuando F y G son los puntos medios de los lados no paralelos.
  • CUADRÁTICA: Cuando los dos trapecios ABGF y CDGF que determina el segmento tienen la misma área.
  • ARMÓNICA: Cuando el segmento pasa por el punto de corte de las diagonales.
  • GEOMÉTRICA: Cuando d es media proporcional de las bases a y b.
Se puede modificar el trapecio y desplazar el segmento FG para comprobar las medias. Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".