La tiranía de la mayoría

Alexis de Tocqueville (1805-1859), fue un pensador, jurista, político e historiador francés, precursor de la sociología clásica y uno de los más importantes ideólogos del liberalismo. En su obra Democracia en América, anunciaba potenciales amenazas para la joven república norteamericana. Lo esencial en democracia es que la minoría (sea pequeña o casi la mitad del electorado) tenga siempre voz, sea escuchada y respetada, como también en algún momento intervenga en los actos de gobierno. El respeto a disentir sigue siendo lo fundamental, lo definitorio del proceso democrático.

A continuación se muestra una situación en que se analiza la presencia o no de la Tiranía de la Mayoría al aplicar el método de votación de la media. Supongamos que los extranjeros residentes en una ciudad necesitan tener asistencia sanitaria. Para ellos es una necesidad básica, pero para el resto de la población supone más impuestos. Los deseos de la Minoría entran en conflicto con la Mayoría. De acuerdo con estos criterios, en un votación la Minoría puntúa con 9 la asistencia sanitaria y con 0 no tener la prestación. En cambio el resto de la población valora con un 4 la asistencia y con un 5 lo contrario.

Distinguimos entre el SI o el NO a la asistencia sanitaria y se calculan las puntuaciones medias de las dos opciones cuando la Minoría es del 10%:
\begin{equation*}\label{lan} \overline{x}(NO)=\frac{10 \cdot 0+ 90\cdot 5}{100}=4.5 \ \wedge \ \overline{x}(SI)=\frac{10 \cdot 9+ 90\cdot 4}{100}=4.5 \end{equation*}
Se observa que coinciden y por tanto cuando la Minoría supere el 10% de la población conseguirá ganar la votación.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar las valoraciones de la minoría y de la mayoría.
  • Se puede modificar el porcentaje que representa la minoría.
  • Se puede observar cuando gana la mayoría o la minoría.
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El problema del Bar El Farol

El problema del Bar El Farol es un problema planteado en el marco de la teoría de juegos. Se basa en una anécdota real acontecida en un bar de la ciudad de Santa Fe (Nuevo M exico) llamado El Farol y fue esbozado inicialmente por el economista Brian Arthur en 1994.
El planteamiento del problema es como sigue, en Santa Fe hay un número finito de personas y el jueves por la noche todo el mundo desea ir al Bar El Farol . Sin embargo, El Farol es un local muy pequeño y no es agradable ir si está repleto de gente.
Si por ejemplo, menos del 60% de la población va a ir al bar, entonces es más agradable ir al bar que quedarse en casa, en caso contrario es mejor quedarse en casa que ir al bar.
Lamentablemente, todo el mundo necesita decidir si ir o no ir al bar al mismo tiempo y no es posible esperar para ver cuantas personas antes que ellos han decidido ir.


  • Si todo el mundo usa el mismo método y éste sugiere que el bar no estará lleno, entonces todo el mundo acudirá, por lo que el bar estará lleno.
  • Análogamente, si todo el mundo usa el mismo método y éste sugiere que el bar estará lleno, entonces nadie acudirá y, por lo tanto, el bar no estará lleno, estará vacío.


  • El modelo permite fijar el interés de la población por ir al bar y la capacidad óptima del mismo. Con la opción aleatorio los clientes van al bar al azar pero teniendo en cuenta el interés. En cambio, la opción estrategia selecciona inicialmente un número de clientes al azar, de acuerdo con el criterio de interés, y a partir de ahí los que no fueron la semana anterior van aleatoriamente y los que fueron repiten si había un número adecuado para la capacidad del bar y no van si había demasiada gente.

    Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
    • Se puede elegir el interés de la gente y la capacidad del bar.
    • El botón iniciar borra el proceso anterior.
    • Los botones aleatorio y estrategia permiten, semana a a semana, mostrar la evolución de la clientela del bar.
    • Se muestran la media, la desviación típica, el máximo y el mínimo de clientes y el gráfico temporal del proceso. También el número de clientes en la semana actual.
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    Permutaciones y estrategias

    Como abrir una caja fuerte

    Un equipo de 5 personas deben abrir una caja fuerte cuya clave consta de 5 dígitos comprendidos entre 0 y 9. Cada persona conoce una de las cifras del código, por ejemplo 3, 7, 6, 5 y 2. Cada persona accede a la caja fuerte en ese orden, sin poder comunicar con los demás.

    Los dígitos del teclado se han intercambiado de manera aleatoria y cada persona dispone de 5 intentos para dar con la cifra correcta. A la sexta pulsación el sistema de seguridad bloquea el teclado y ya no se puede abrir la caja fuerte.

    Si cada persona escogiera las teclas al azar, la probabilidad de pode abrir la caja fuerte sería:
    $$(1/2)^5=3,125 \%$$
    ¡Podemos multiplicar por algo más de diez la probabilidad de éxito!
    • Comenzar por la tecla marcada con el dígito deseado.
    • Si la cifra que aparece es la correcta, confirmar. Si no, borrar y pulsar la tecla del dígito aparecido.
    • Repetir la operación hasta dar con el número correcto o hasta agotar los intentos.
    Supongamos que se ha generado, de manera aleatoria, la siguiente permutación:
     Todas las cifras se obtienen a la 5ª pulsación, por ejemplo para el 3, aparecen sucesivamente 6, 9, 5, 8 y 3.
    Esto ocurre porque la permutación tiene dos "ciclos" de 5 elementos, el anterior y el formado por 0, 1, 2, 4, 7.
     En cambio si la permutación aleatora fuera:
    habría un ciclo de 9 elementos: 6, 9, 5, 8, 4, 0, 1, 2, 3 y un ciclo de un sólo elemento: 7.
     Por tanto, si el dígito pertenece a un ciclo de más de 5 elementos se pierde.

    ¿Por qué esta estrategia es la óptima? 

    Lógicamente, ninguna permutación puede contener un ciclo de más de 6 elementos. Estas permutaciones, teniendo en cuenta las diferentes ordenaciones que se pueden obtener, para n>5 son:
    $$\binom {10} {n}(n-1)!(10-n)!=\frac{10!}{n}$$
    Como hay 10! permutaciones de 10 dígitos, la probabilidad de que una de ellas contenga un ciclo de n>5 elementos es 1/n.
    Por tanto la probabilidad de abrir la caja fuerte es:
    $$1-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\simeq35,4\%$$

    Supongamos que 100 prisioneros son llevados a una habitación en la que hay un fichero con 100 cajones, cada uno de los cuales contiene el nombre de cada uno de los reclusos.

    Uno por uno, los prisioneros pueden acceder al fichero y abrir hasta un máximo de 50 cajones, para luego dejar todo como estaba. No pueden comunicarse entre si una vez haya empezado el proceso.

    Para salir libres, cada recluso deberá encontrar su nombre en alguno de los cajones que abra; si no ocurre, todos serán ejecutados. El carcelero coloca los nombres de manera aleatoria en los cajones para entorpecer el plan de los reclusos.

    Este problema es análogo al anterior. Si los reclusos fueran abriendo los cajones al azar, la probabilidad de salvarse sería:
    $$(1/2)^{100}$$
    Pero si eligen la misma estrategia que en el caso de la caja fuerte, el  número de permutaciones con ciclos con n>50 es:
    $$\binom {100} {n}(n-1)!(100-n)!=\frac{100!}{n}$$
    Como hay 100! permutaciones de 100 nombres, la probabilidad de que una de ellas contenga un ciclo de n>50 elementos es también 1/n.

    Por tanto la probabilidad de salvarse los 100 presos es:
    $$1-\frac{1}{51}-\frac{1}{52}...-\frac{1}{100}\simeq31,2\%$$
    Si fueran 1000 presos y abrieran hasta 500 cajones, la probabilidad de salvese sería 30,7%.

    Se observa que siempre se suman términos consecutivos de la serie armónica. Esta serie es divergente y se puede comparar con la función ln (n), de acuerdo con las expresiones:
    $$H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$ $$\int_1^n\frac{1}{x}dx=ln(n)$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}H_n-ln(n)=\gamma\simeq0,58$$ que es la constante de Euler-Mascheroni.

    La probabilidad de perder, son sumas de términos de la serie armónica del tipo:
    $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=H_{2n}-H_n$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}H_{2n}-\lim\limits_{n\to\infty}H_{n}=ln(2n)+\gamma-ln(n)-\gamma=ln(2)\simeq0,69314718$$
    ¡Aunque el número de prisoneros crezca infinitamente, siguiendo la misma estrategia, siempre tendrán una probabilidad de salvarse superior al 30%!

    Basado en un artículo de Investigación y Ciencia de Gabriel Uzquiano