D’Alembert y la divisibilidad

Jean le Ronde d'Alembert junto con Denis Diderot fueron dos figuras decisivas de La Ilustración. A ellos se debe, fundamentalmente, la elaboración y dirección de L'Enciclopédie (1751-1772), obra magna que recogía con una visión laica y basada en la razón, de forma sistemática todos los conocimientos acumulados hasta entonces. Aunque D'Alembert trabajó en distintos campos de las matemáticas, vamos a presentar su pequeña contribución a la teoría de números.

Dado el número: $$n=a_0a_1\cdots a_n$$ cuyo desarrollado en potencias es: $$n=10^ma_0+ \cdots +10a_{m-1}+a_m$$ Si es divisible por 10-p, también lo es el número (y viceversa): $$n^*=p^ma_0+ \cdots +pa_{m-1}+a_m$$ Restando ambos números: $$n-n^*=(10^m-10^p)a_0+\cdots+(10-p)a_{m-1}$$ y aplicando la identidad: $$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+a^{m-4}b^3\cdots+b^{m-1})$$ a cada paréntesis, se observa que n-n* es un múltiplo de 10-p Si n y n-n* son múltiplos de 10-p, entonces n* es múltiplo de 10-p.
Análogamente, si n es divisble por 10+p, también lo es el número (y viceversa): $$n^{**}=(-p)^ma_0+ \cdots +(-p)a_{m-1}+a_m$$ En este caso se debe aplicar la identidad: $$a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^2-a^{m-4}b^3\cdots\pm b^{m-1})$$ Para diferentes valores de p se obtienen varios criterios de divisibilidad.

Divisibilidad por 9:10-p=10-1=9 $$n^*=a_0+ \cdots +a_{m-1}+a_m$$ La suma de las cifras ha de ser un múltiplo de 9.

Divisibilidad por 11:;10+p=10+1=11 $$n^{**}=(-1)^ma_0+ \cdots -a_{m-1}+a_m$$ La diferencia entre la suma de las cifras pares y la suma de las cifras impares es un múltiplo de 11.

Divisibilidad por 7:10-p=10-3=7 $$n^*=3^ma_0+ \cdots +3a_{m-1}+a_m$$
Divisibilidad por 13:10+p=10+3=13
$$n^{**}=(-3)^ma_0+ \cdots -3a_{m-1}+a_m$$ La divisibilidad por 7 fue enunciada en el siglo XIII por Benalbana el Granatí. Veamos un ejemplo del criterio de divisibilidad por 7 aplicado de forma iterada al número 1547: $$[(1\cdot3+5)\cdot3+4]\cdot3+7=91$$ $$9\cdot 3+1=28$$ $$2\cdot 3+8=14$$ $$1\cdot 3+4=7$$
  • Del libro D'Alembert y Condorcet. Ricardo Moreno Castillo. La Matemática en sus personajes 51. Editorial Nivola.

Flores en polares

El concepto abstracto de sistema de coordenadas polares se debe a Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.

En el periódico Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar.

Dentro de las muchas  curvas que se pueden representar utilizando las coordenadas polares, están las flores rosáceas. Sus ecuaciones generales son las siguientes:

Flores I: $$\rho=a \cdot cos(n\theta)+b$$
Flores II: $$\rho=a \cdot  |cos(n\theta)|+b$$
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Con los deslizadores podrás cambiar los parámetros a, b y n que definen a las curvas y mediante el valor de k, aumentar el valor del ángulo lo necesario para obtener la figura completa. Activando las casillas podrás observar los dos tipos de flores.

La media derivada

¿Existe un operador, que se comporte como una media derivada?
$$H^2f(x)=Df(x)$$
Existe y estaría representado por:
$$Hf(x)=D^\frac{1}{2}f(x)$$
Más aún,  para todo a>0 real, se puede conseguir un operador:
$$D^af(x)$$ que recibe el nombre de derivada fraccional.

Si tomamos la función potencial: $$f(x)=x^k$$
su derivada a-ésima es:
$$D^ax^k=\frac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}$$
Teniendo en cuenta la función gamma:
$$\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^ze^{-t}\,\mathrm{d}z$$
que verifica para números reales positivos:
$$\Gamma(z+1)=z!$$
la derivada a-ésima se expresa como:
$$D^ax^k=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-a)}x^{k-a}$$
Aplicamos la media derivada una primera vez a la función potencial de 2º grado:
$$D^\frac{1}{2}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}x^{3/2}$$
Aplicamos de nuevo la media derivada a la función obtenida: $$\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}D^\frac{1}{2}x^{3/2}=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(5/2)}\frac{\Gamma(5/2)}{\Gamma(2)}x=2x$$
y observamos que hacer dos medias derivadas equivale a una derivada.

Si es necesario calcular la función gamma para un número fraccionario, se usa la fórmula de duplicación:
$$\Gamma(z)·\Gamma(z+1)=z^{1-2z}·\sqrt {\pi}·\Gamma(2z)$$
Si la derivada n-ésima de la función seno es:
$$D^nsen x=sen(x+n\frac{\pi}{2})$$
podemos extender la derivación para cualquier número real a>0:
$$D^asen x=sen(x+a\frac{\pi}{2})$$

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Con el deslizador a podrás elegir la 1ª derivada fraccional y con el deslizador b elegir una 2ª derivación fraccional. Podrás observar que si a+b es un número natural, se obtiene una derivada "tradicional".

El Cálculo Fraccional trata del estudio de los llamados operadores de derivación e integración de orden fraccionario sobre dominios reales o complejos y sus aplicaciones. En realidad dichos operadores surgen con el objetivo de generalizar los conceptos de integración y de derivada para valores no enteros.
El origen del Cálculo Fraccional se remonta a 1675, momento en el que Leibniz introduce la noción de la derivada de orden n de una función. Fue posteriormente en 1695 cuando los primeros resultados publicados son citados en una carta de L'Hôpital a Leibniz, en la cual L'Hôpital plantea la cuestión del posible significado de la derivada de orden n si n=1/2. La respuesta intuitiva en ese momento de Leibniz fue: "...y esto es una paradoja aparente que permitirá en el futuro extraer consecuencias muy útiles".

A partir de aquí, son muchos los matemáticos que han estudiado este tema y han aportado su contribución al desarrollo de lo que hoy conocemos sobre Cálculo Fraccionario. Entre ellos podemos destacar a Euler, Lagrange,Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Grünwald, Letnikov, Holmgren, Cauchy, Hadamard, Hardy, Riesz, Weyl, etc.

Sus aplicaciones van desde el control y la robótica hasta el estudio de los polímeros o las ondas sísmicas.

La cicloide (II)

El problema de la Braquistócrona fue el motivo de una amarga contienda entre los hermanos Johann y Jakob Bernoulli.
Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.
El problema lo propuso Johann sugiriendo que la respuesta correspondía a una curva muy conocida. No se trataba de encontrar puntos donde una curva tiene un máximo o u mínimo, sino que la incógnita buscada es una curva que debe minimizar cierta relación.
La solución era la conocida curva cicloide y fue obtenida de forma distinta por los hermanos Bernoulli. Jakob lo resolvió utilizando un método que sería el inicio del cálculo de variaciones, pero fue la solución de Johann la más genial utilizando de manera combinada la geometría y la física.

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Sigue la construcción "paso a paso" y con dos deslizadores podrás modificar el ángulo de inclinación de la trayectoria recta y el tamaño de la cicloide. Desactivando la casilla de control podrás ocultar los valores numéricos de velocidad y energías de ambos móviles. El deslizador de tiempo permite observar los valores anteriores para cada posición de los móviles.  Pulsando el botón de "play" se activa la animación.

Veamos la explicación de Johann:

Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula: $$v=\sqrt{2gh}$$ El principio de Fermat dice la luz viaja de un punto a otro en el menor tiempo posible. Si atraviesa dos medios distintos se cumple la ley de la refracción: $$\frac{sen \theta_1}{v_1}=\frac{sen \theta_2}{v_2}=k$$
Supongamos un medio óptico formado por finas láminas diferentes:
$$\frac{sen\theta_i}{v_i}=k$$
En nuestro problema se cumple: $$\frac{sen\theta}{\sqrt{2gh}}=k$$ siendo el ángulo el que forma la tangente a la curva con la vertical en cada instante.

Derivando las ecuaciones de la cicloide: $$x=r \alpha-rsen \alpha \wedge y=rcos \alpha-r$$
$$\frac{dx}{d\alpha}=r-rcos\alpha \wedge \frac{dy}{d\alpha}=-rsen\alpha$$
$$tg\theta=\frac{dx}{dy}=\frac{1-cos\alpha}{-sen\alpha}=-tg\frac{\alpha}{2}$$
$$\theta=|\frac{\alpha}{2}|$$
$$v=\sqrt{2gr(1-cos\alpha)}=2\sqrt{gr}sen\frac{\alpha}{2}$$
$$\frac{sen\theta}{v}=\frac{sen\frac{\alpha}{2}}{2sen\frac{\alpha}{2}\sqrt{gr}}=\frac{1}{2\sqrt{gr}}$$
que es una constante y por tanto cumple la ley de Fermat.

La cicloide (I)

Los matemáticos de la antigüedad consideraban a la cicloide la más bella de las curvas, llegándola a llamar la Helena de la Geometría.
La cicloide es la curva que se obtiene cuando se hace rodar, sin deslizar, un disco sobre una superficie horizontal. La trayectoria que describe un punto situado en el borde del disco es la curva llamada cicloide. Por cada giro completo del disco se obtiene un arco de cicloide.
Mersenne la definió de forma rigurosa y Galileo le puso el nombre (en griego significa circular).

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Sigue la construcción "paso a paso" y con los deslizadores puedes modificar el radio de la circunferencia y ver la construcción de la cicloide. Pulsando el botón de "play" se activa la animación.
ECUACIONES

El punto P de una circunferencia de radio R está situado inicialmente en el origen de coordendas. La circunferencia gira sin deslizamiento y el punto P describe la cicloide al dar la circunferencia una vuelta completa. Las cordenadas del punto P son:
$$x=OA=OB-AB=PB-PD=R\alpha-Rsen\alpha=R(\alpha-sen\alpha)$$ $$y=PA=CB-CD=R-Rcos\alpha=R(1-cos\alpha)$$
LONGITUD $$\frac{dx}{d\alpha}=x'=R(1-cos\alpha)$$ $$\frac{dy}{d\alpha}=y'=Rsen\alpha$$ $$L=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'^2+y'^2}\,\mathrm{d}\alpha=R\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{1-cos\alpha}\,\mathrm{d}\alpha=$$ $$=2R\int_0^{2\pi}sen\frac{\alpha}{2}\,\mathrm{d}\alpha=8R$$
¡La longitud de la cicloide es 8 veces el radio del círculo!
ÁREA
$$L=\int_0^{2\pi R}y\,\mathrm{d}x=R^2\int_0^{2\pi}(1-cos\alpha)^2\,\mathrm{d}\alpha=3\pi R^2$$
¡El área bajo la cicloide es 3 veces el área del círculo que da lugar a ella!
Galileo pensó que no debía ser un número tan redondo y conjeturó que debía ser pi. Roberval y su discípulo Torricelli demostraron los valores de la longitud y del área correctos en el siglo XVII.

Teorema de Napoleón

No es frecuente encontrar políticos interesados por las ciencias y menos por las matemáticas. Uno de estos casos es Napoleón Bonaparte, quien desde pequeño tuvo interés por esta ciencia y a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos: Laplace, Fourier, Lagrange, Mascheroni y Monge y creando un sistema educativo donde las ciencias fueran aplicadas en beneficio del Estado.

Logró destacar en la academia militar y convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones.
Con Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y religión.

Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si  los demostró o simplemente los propuso. Presentamos el más conocido de ellos:

Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo GHI, conocido como triángulo de Napoleón exterior.

Análogamente, si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros interiores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo MNO, conocido como triángulo de Napoleón interior.

Además, el área del triángulo incial ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos exterior e interior.

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Sigue la construcción "paso a paso" y desplazando los vértices del triángulo A, B y C podrás observar que se cumple el teorema. Desactivando, de forma alternada, las casillas de control podrás observar por separado el teorema exterior o el teorema interior. Si activas las dos casillas observarás la propiedad que cumplen las áreas de los triángulos obtenidos y el triángulo original.

Cuadratura del rectángulo

El conjunto de conocimientos necesarios para erigir los templos y altares se encuentran en los Sulvasutras o reglas de las cuerdas, Sulva se refiere a las cuerda utilizadas para hacer mediciones y sutra al conjunto de las reglas. Los sulvasutras son básicamente un tratado de geometría que utiliza el teorema de Pitágoras y pertenecen a la primera época de la matemática hindú (siglo II de nuestra era). La rectificación y la cuadratura del rectángulo es una de esas construcciones:

Sea AB=a un lado mayor del rectángulo y AD=b un lado menor del rectángulo.

RECTIFICADO: El cuadrado ANMG tiene el mismo perímetro que el rectángulo incial:
$$AG=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$$ $$p=4\frac{a+b}{2}=2(a+b)$$
CUADRATURA: El cuadrado ALHK tiene la misma área que el rectángulo inicial: $$GF=GK=a-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}$$ $$AK=\sqrt{AG^2-GK^2}=\sqrt{(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2}=\sqrt{ab}$$
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Sigue la construcción "paso a paso" y desplazando los puntos A y B podrás modificar el lado mayor del rectángulo y sus orientación; si desplazas el punto D podrás modificar el lado menor del rectángulo.

Teorema de Pitot

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lado opuestos. 

Henry Pitot (1695-1771), fue un ingeniero y físico francés. Fue militar y estudió matemáticas por su cuenta.
Inventó el "tubo de Pitot" que es un instrumento destinado, entre otras aplicaciones a la medición del caudal a través de la cuantificación de la velocidad del flujo y que utilizó para medir el caudal del Sena.


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Se puede modificar la circunferencia moviendo su centro A y el punto B. Moviendo los  vértices B, C, D, E, se modifican los lados del cuadrilátero. Estos puntos están sobre la circunferencia y no deben traspasar  los vértices contiguos para que no desaparezca el cuadrilátero.

Teorema de Monge

El Teorema de Monge, debe su nombre a Gaspard Monge, matemático francés inventor de la Geometría Descriptiva.

Sean tres circunferencias secantes dos a dos. Los tres segmentos, que une los puntos de intersección de cada par de circunferencias, se cortan en un mismo punto.


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Se pueden desplazar las circunferencias moviendo sus centros A, B y C y modificar sus radios mediante los deslizadores. Cuando son secantes dos a dos, se observa que los segmentos IJ, GH y KL se cortan eun un punto común M.

Teorema de Carnot

El Teorema de Carnot, debe su nombre a Lazare Carnot, político y matemático francés que participó en las guerras revolucionarias francesas.

En un triángulo cualquiera, la suma de distancias del circuncentro a los lados del triángulo es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.

El signo de la distancia a un lado es negativa si y solo si el segmento que determina la distancia  está completamente fuera del triángulo.


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En un triángulo cualquiera se construyen las circunferencias inscrita y circunscrita y sus radios r y R respectivamente. También los segmentos, perpendiculares a los lados, que unen el circuncentro con los cada uno de los lados.

$$d_a+d_b+d_c=R+r$$

Se miden todas las distancias, y se puede comprobar el teorema, modificando el triángulo al desplazar los vértices del mismo.