Dados paradójicos (III)

La paradoja de Steihaus-Trybula indica la posibilidad de que, dadas tres cantidades aleatorias A, B y C, ocurriera que las tres probabilidades:
$$P(A>B), P(B>C), P(C>A)$$ fueran mayor que 1/2 y por tanto no hubiera transitividad.
Si las cantidades A, B y C fuesen los tiempos de llegada de tres autobuses a una parada, sería más probable que llegase A antes que B, B llegase antes que C y C lo hiciera antes que A.
¡Sorprendente!

El teorema de Trybula afirma que siempre que se dé la paradoja de intransitvidad, al menos una de las tres probabilidades tiene que ser menor o igual que la razón áurea: $$\phi=\frac{\sqrt5-1}{2}=0,618$$Supongamos que las cantidades aleatorias A, B y C pueden tomar los valores 1, 2, 3, 4 y 5 de acuerdo a la siguiente tabla:

valor 1 2 3 4 5
probabilidad 1-PB 1-PA 1 PB PA
cantidad aleatoria B A C B A

Este reparto de los posibles valores entre las tres cantidades aleatorias es bastante igualitario, pues se reparten, alternativamente de mayor a menor. De acuerdo con la tabla:
$$P(A>B)=P_A+(1-P_A)(1-P_B)$$$$P(B>C)=P_B$$$$P(C>A)=1-P_A$$ El reparto que maximiza la más pequeña de las probabilidades obliga a que las tres sean iguales:$$P(A>B)=P(B>C)=(C>B)$$resolviendo las ecuaciones se obtiene que $$P_A=1-\phi, P_B=\phi$$ $$P(A>B)=P(B>C)=(C>B)=\phi$$ Para comprobarlo, podemos obtener tres dados virtuales y elegir las probabilidades PA Y PB, hacer lanzamientos y observar los resultados en los distintos tipos de enfrentamientos.
Los resultados de cada simulación se acumulan a los resultados anteriores y se muestran los mismos, el recuento, el porcentaje y los gráficos correspondientes.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • PA: Elige la probabilidad de obtener un 5 con el dado A.
  • PB: Elige la probabilidad de obtener un 4 con el dado B.
  • A versus B: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado A y el dado B.
  • B versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado B y el dado C.
  • C versus A: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado C y el dado A.
Descargar .XLS

Dados paradójicos (II)

Disponemos de cuatro dados con sus caras numeradas de la siguiente manera:

A={0,0,4,4,4,4}, B={3,3,3,3,3,3}, C={2,2,2,2,7,7} y D={1,1,1,5,5,5}

El dado A gana al dado B, el dado B gana al dado C, el dado C gana al dado D y finalmente el dado D gana al dado A.Por tanto si un jugador elige un dado, el contrincante deberá elegir el dado que le gana. Además la proporción en todos los casos es 2:1.
Se cuenta que Warren Buffet, fan de los dados no transitivos, le dijo a Bill Gates que eligiera uno de esos dados. Bill le pidió examinarlos, y cuando los vio le dijo a Warren que eligiera primero.

¡No hay transitividad!

  • A versus B: - gana A: si en A sale 4: 2/3
  • B versus C: - gana B: si en C sale 2: 2/3
  • C versus D: - gana C: si en C sale 7 o si en C sale 2 y en D sale 1: 2/6+4/6·3/6=2/3
  • D versus A: - gana D: si en D sale 5 o si en D sale 1 y en A sale 0: 3/6+3/6·2/6=2/3
Para comprobarlo, podemos hacer lanzamientos y observar los resultados en los distintos tipos de enfrentamientos.
Los resultados de cada simulación se acumulan a los resultados anteriores y se muestran los mismos, el recuento, el porcentaje y los gráficos correspondientes.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • A versus B: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado A y el dado B.
  • B versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado B y el dado C.
  • C versus D: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado C y el dado D.
  • D versus A: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado D y el dado A.
Descargar .XLS

Dados paradójicos (I)

Disponemos de tres dados con sus caras numeradas de la siguiente manera:

A={1,5,5,5,5,7}, B={2,4,4,6,6,6} y C={3,3,3,3,8,8}.

El dado A gana al dado C y el dado B gana, también, al dado C. En apariencia el dado C es el peor de los tres dados. Sin embargo, si juegan los tres dados a la vez, otorgando la victoria al de mayor puntuación, el que tiene más probabilidad de ganar es el C.
Si trasladamos la paradoja a la llegada de autobuses, significaría que lo más probable es que A llegue antes que C, que B llegue antes que C, pero el que tiene más probabilidades de llegar primero de los tres es el C.

¡Increíble!


  • A versus C: - gana A si en A no sale 1 y en C sale 3: 5/6·4/6= 5/9
  • B versus C: - gana B si en B no sale 2 y en C sale 3: 5/6·4/6 = 5/9
  • A vs B vs C:
  • - gana A: si en A sale 5, en B no sale 6 y en C sale 3 o bien si en A sale 7 y en C sale 3:
    4/6·3/6·4/6+1/6·4/6=0,3333

    - gana B: si en B sale 4, en A sale 1 y en C sale 3, o bien si en B sale 6, en A no sale 7 y en C sale 3:
    2/6·1/6·4/6+3/6·5/6·4/6=0,3148

    - gana C: si en C sale 8, o bien si C en sale 3, en A sale 1 y en B sale 2:
    2/6+4/6·1/6·1/6=0,3518
Para comprobarlo, podemos hacer lanzamientos y observar los resultados en los distintos tipos de enfrentamientos.
Los resultados de cada simulación se acumulan a los resultados anteriores y se muestran los mismos, el recuento, el porcentaje y los gráficos correspondientes.
Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • A versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado A y el dado C.
  • B versus C: Realiza la simulación de 100 tiradas del dado B y el dado C.
  • A vs B vs C: Realiza la simulación de 100 tiradas de los dados A, B y C.
Descargar .XLS

El arbelos de Arquímedes (II)

Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.  

El Arbelos, también conocido como la cuchilla del zapatero, es la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicircunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


Hay siempre dos circunferencias tangentes:
  • Al segmento perpendicular a los diámetros de las semicircunferencias y además tangente a las semicircunferencias interiores.
  • A la semicircunferencia exterior.
  • A las semicircunferencias interiores.
Son iguales, pues sus diámetros miden:
$$\frac{2r_1·2r_2}{2·R}=\frac{2r_1·r_2}{R}$$