Teorema de Pitot

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lado opuestos. 

Henry Pitot (1695-1771), fue un ingeniero y físico francés. Fue militar y estudió matemáticas por su cuenta.
Inventó el "tubo de Pitot" que es un instrumento destinado, entre otras aplicaciones a la medición del caudal a través de la cuantificación de la velocidad del flujo y que utilizó para medir el caudal del Sena.


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Se puede modificar la circunferencia moviendo su centro A y el punto B. Moviendo los  vértices B, C, D, E, se modifican los lados del cuadrilátero. Estos puntos están sobre la circunferencia y no deben traspasar  los vértices contiguos para que no desaparezca el cuadrilátero.

Teorema de Pascal

En un hexágono irregular inscrito en una circunferencia se trazan las prolongaciones de sus lados. Las rectas correspondientes a los lados opuestos se cortan en tres puntos respectivamente. Estos puntos están alineados y determinan la recta de Pascal. La figura en la que se inscribe el hexágono puede ser cualquier sección cónica (elipse, parábola...).

Este teorema, también llamado Hexagrammun Mysticum, es una generalización del Teorema del hexágono de Pappus y del dual proyectivo del Teorema de Brianchon. Fue decubierto por Blaise Pascal a la edad de 16 años.

 Fue generalizado por Möbius en 1847: Si un polígono con 4n+2 lados se encuentra inscrito en una sección cónica y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se intersecan en 2n+1 puntos. Entonces si 2n puntos se encuentran sobre una línea común, el punto restante también se encuentra sobre esa línea.


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Se puede modificar la circunferencia moviendo su centro A y el punto B. Moviendo los  vértices B, C, D, E, F y G se modifican los lados del hexágono. Estos puntos están sobre la circunferencia y no deben traspasar  los vértices contiguos para que no desaparezca el hexágono.
De esta forma se comprueba el teorema, siempre que las rectas no sean paralelas.

Teorema de Von Aubel

En un cuadrilátero, no necesariamente convexo, se construyen cuadrados adosados sobre sus lados de arista igual a cada arista del cuadrilátero. Si se unen los centros de los cuadrados opuestos, las rectas que pasan por esos centros son perpendiculares.

Si uno de los lados se reduce a un punto, se obtiene un triángulo. En este caso también se cumple el teorema, siendo una de las rectas perpendiculares la que une los centros de los cuadrados construidos sobre dos lados contiguos, y la otra la que une el centro del otro cuadrado con el vértice opuesto del triángulo.


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Se puede modificar el cuadrilátero moviendo los vértices, consiguiendo cuadriláteros cóncavos y convexos, e incluso un triángulo, y comprobar el teorema.

Problemas de bancarrota y el Talmud

El reparto de un bien escaso cuando es insuficiente para satisfacer las demandas de todos los acreedores, se conoce como problema de bancarrota. A partir del problema del Talmud se muestran como actúan cinco reglas de reparto:
  • Proporcional
  • Igualar ganacias
  • Igualar pérdidas
  • Por orden de llegada
  • Talmúdico
El problema del Talmud es el siguiente:

Un deudor en bancarrota debe a sus acreedores 100, 200 y 300 zuzim, respectivamente.

¿Cómo debe repartir la cantidad que dispone, si ésta es de 100, 200, 300 zuzim?

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:

En REPARTO I se calcula el reparto "proporcional" e "Igualar ganancias"; en REPARTO II se calcula el reparto "Igualar pérdidas" y "Por orden de llegada", en REPARTO II se calcula el reparto "Talmúdico".
  • CANTIDAD DISPONIBLE (E): permite elegir la cantidad a repartir entre los acreedores.
  • DEMANDAS (D1, D2; D3): permite elegir las demandas de cada uno de los tres acreedores.
Descargar .XLS
Se explican cada uno de las formas de reparto y se comparan los resultado con los valores mostrados en el problema del Talmud.
Descargar .pdf