Teorema de Napoleón

No es frecuente encontrar políticos interesados por las ciencias y menos por las matemáticas. Uno de estos casos es Napoleón Bonaparte, quien desde pequeño tuvo interés por esta ciencia y a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos: Laplace, Fourier, Lagrange, Mascheroni y Monge y creando un sistema educativo donde las ciencias fueran aplicadas en beneficio del Estado.

Logró destacar en la academia militar y convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones.
Con Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y religión.

Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si  los demostró o simplemente los propuso. Presentamos el más conocido de ellos:

Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo GHI, conocido como triángulo de Napoleón exterior.

Análogamente, si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros interiores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan el triángulo MNO, conocido como triángulo de Napoleón interior.

Además, el área del triángulo incial ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos exterior e interior.

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Sigue la construcción "paso a paso" y desplazando los vértices del triángulo A, B y C podrás observar que se cumple el teorema. Desactivando, de forma alternada, las casillas de control podrás observar por separado el teorema exterior o el teorema interior. Si activas las dos casillas observarás la propiedad que cumplen las áreas de los triángulos obtenidos y el triángulo original.

El Algebrista

Letra de Enzo R. Gentile
Música del tango “Mano a mano”

Algebrista te volviste
refinado hasta la esencia
oligarca de la ciencia
matemático bacán.

Hoy mirás a los que sudan
en las otras disciplinas
como dama a pobres minas
que laburan por el pan.

¿Te acordás que en otros tiempos
sin mayores pretensiones
mendigabas soluciones
a una mísera ecuación?

Hoy la vas de riguroso
revisás los postulados
y junás por todos lados
la más vil definición.

Pero no engrupís a nadie
y es inútil que te embales
con anillos, con ideales
y con álgebras de Boole.

Todos saben que hace poco
resolviste hasta matrices
y rastreabas las raíces
con el método de Sturn.

Pero puede que algún día
con las vueltas de la vida
tanta cáscara aburrida
te llegue a cansar al fin.

Y añores tal vez el día
que sin álgebras abstractas
y con dos cifras exactas
te sentías tan feliz.

Si querés cantar el tango aquí tenés la música.

El número de oro y otros números metálicos

A la sucesión de recurrencia:
$$u_{n+1}=pu_{n}+qu_{n-1}$$
le correspnde, en ecuaciones en diferencias, la siguiente ecuación característica:
$$x^{2}-px-q=0$$
cuya solución positiva es:
$$\frac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}$$
Se obtienen así los llamados números metálicos:

p 1 2 3 1 1
q 1 1 1 2 3
número oro plata bronce cobre niquel
valor $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ $$1+\sqrt{2}$$ $$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$$ $$2$$ $$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$$

La sucesión con p=q=1 es la conocida sucesión de Fibonacci.
La sucesión generalizada de Fibonacci es:$$G(n+1)=pG(n)+qG(n-1)$$ Y si a y b son los términos iniciales:
$$a,b,pb+qa,p(pb+qa)+qb,...$$ Operando en la expresión recurrente y tomando límites: $$\frac{G(n+1)}{G(n)}=p+\frac{G(n-1)} {G(n)}q$$ $$x=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{G(n+1)}{G(n)}$$ $$x=p+\frac{q}{x}$$ $$x^2-px-q=0$$
se obtiene la ecuación característica de la ecuación en diferencias.

Por tanto, el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci Generalizda tiende siempre al número metálico corespondiente.

La familia de los números metálicos fue introducida en 1995 por la matemática argentina Vera W. Spinadel.

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se pueden modificar los parámetros p y q de la sucesión recurrente.
  • Se pueden modificar los dos primeros términos de la sucesión F0 y F1.
  • Se muestran las tablas con los 20 primeros términos y los cocientes entre términos consecutivos.
  • Se muestra la gráfica que se estabiliza hacia el número metálico correspondiente.
  • Se muestra el valor del número metálico correspondiente.
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