Movimiento Armónico (II)

Composición de dos movimientos armónicos simples (MAS) con la misma direción:

Misma frecuencia

Si las ecuaciones de cada movimiento son:
$$x_1=A_1sen(wt+\phi_1)$$ $$x_2=A_2sen(wt+\phi_2)$$ la resultante será: $$x=x_1+x_2=Asen(wt+\phi)$$ Si están en fase:
$$\phi_1=\phi_1 \Rightarrow A=A_1+A_2$$ y si están en oposición:
$$\phi_1-\phi_1=\pi \Rightarrow A=A_1-A_2$$ La amplitud en general es:
$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\phi_1-\phi_2)}$$

Distinta frecuencia
$$x_1=A_1sen(w_1t)$$ $$x_2=A_2sen(w_2t)$$ la amplitud resultante será: $$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(w_1-w_2)t}$$

Sigue las instrucciones de utilización del modelo de Excel que puedes descargar a continuación:
  • Se puede modificar la AMPLITUD, la FRECUENCIA ANGULAR de cada movimiento y el DESFASE entre ellos.
  • Se obtiene el PERÍODO de cada uno de ellos. También la ELONGACIÓN, la VELOCIDAD y la ACELERACIÓN de cada uno de ellos y del movimiento resultante.
  • Además se actualizan las gráficas, pudiendo ver la elongación, velocidad o la aceleración de cada movimiento y del  resultante al pulsar el botón correspondiente.
  • Se puede modificar el INTERVALO de representación.
  • Al variar el INSTANTE, un punto se mueve sobre las tres curvas elegidas y muestra su posición en las gráficas y los valores correspondientes.
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La cicloide (III)

El matemático y físico del siglo XVII, Christiaan Huygens, fue el primer constructor serio de relojes de péndulo. Construyó uno que tenía una propiedad muy especial: aunque la amplitud del movimiento del péndulo variase , seguía marcando el tiempo igual de bien.
¡Tenía el mismo periódo para cualquier amplitud!

Construyó un péndulo que describiera una cicloide invertida: el péndulo tiene como topes dos arcos de cicloide.
La curva que describía el péndulo era tautócrona: Si dejas caer dos canicas desde dos puntos difrentes de una cicloide invertida, ambas llegan al mismo tiempo al punto más bajo.
 Haz click en "más información" para ver el applet.


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Pulsando el botón de "play" se activa la animación. El deslizador de tiempo permite controlar las posiciones de ambos móviles.

Veamos la justificación de la tautocronía:
Las ecuaciones de la cicloide son: $$x=r \alpha-rsen \alpha \wedge y=rcos \alpha-r$$
Si la partícula parte de A en reposo, la velocidad que alcanza en B depende de la diferencia de altura h entre los puntos y no de la trayectoria descrita, según la fórmula: $$v=\sqrt{2g(h_B-h_A)}=\sqrt{2gR(cos \beta-cos \alpha)}$$
Por trigonometría se obtiene: $$v=2\sqrt{Rg}\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}$$

Derivando las ecuaciones de la cicloide:
 $$\frac{dx}{d\alpha}=r-rcos\alpha \wedge \frac{dy}{d\alpha}=-rsen\alpha$$
el elemento de longitud es:
 $$ds=\sqrt{(\frac{dx}{d\alpha})^2+(\frac{dy}{d\alpha})^2}=2Rsen(\frac{\alpha}{2})$$
El elemento de tiempo:
 $$dt=\frac{ds}{v}=\frac{2Rsen(\frac{\alpha}{2})}{2\sqrt{Rg}\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}}$$
E integrando:
$$t=\sqrt{\frac{R}{g}}\int_{\beta}^{\pi}\frac{sen(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-cos^2(\frac{\alpha}{2})}}\,\mathrm{d}\alpha$$
Haciendo los cambios:  $$cos(\frac{\alpha}{2})=u \wedge u=cos(\frac{\beta}{2})x$$
$$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^{cos(\frac{\beta}{2})}\frac{du}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-u^2}}$$
$$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^1\frac{du}{\sqrt{cos^2(\frac{\beta}{2})-u^2}}=\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$$