D’Alembert y la divisibilidad

Jean le Ronde d'Alembert junto con Denis Diderot fueron dos figuras decisivas de La Ilustración. A ellos se debe, fundamentalmente, la elaboración y dirección de L'Enciclopédie (1751-1772), obra magna que recogía con una visión laica y basada en la razón, de forma sistemática todos los conocimientos acumulados hasta entonces. Aunque D'Alembert trabajó en distintos campos de las matemáticas, vamos a presentar su pequeña contribución a la teoría de números.

Dado el número: $$n=a_0a_1\cdots a_n$$ cuyo desarrollado en potencias es: $$n=10^ma_0+ \cdots +10a_{m-1}+a_m$$ Si es divisible por 10-p, también lo es el número (y viceversa): $$n^*=p^ma_0+ \cdots +pa_{m-1}+a_m$$ Restando ambos números: $$n-n^*=(10^m-10^p)a_0+\cdots+(10-p)a_{m-1}$$ y aplicando la identidad: $$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+a^{m-4}b^3\cdots+b^{m-1})$$ a cada paréntesis, se observa que n-n* es un múltiplo de 10-p Si n y n-n* son múltiplos de 10-p, entonces n* es múltiplo de 10-p.
Análogamente, si n es divisble por 10+p, también lo es el número (y viceversa): $$n^{**}=(-p)^ma_0+ \cdots +(-p)a_{m-1}+a_m$$ En este caso se debe aplicar la identidad: $$a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^2-a^{m-4}b^3\cdots\pm b^{m-1})$$ Para diferentes valores de p se obtienen varios criterios de divisibilidad.

Divisibilidad por 9:10-p=10-1=9 $$n^*=a_0+ \cdots +a_{m-1}+a_m$$ La suma de las cifras ha de ser un múltiplo de 9.

Divisibilidad por 11:;10+p=10+1=11 $$n^{**}=(-1)^ma_0+ \cdots -a_{m-1}+a_m$$ La diferencia entre la suma de las cifras pares y la suma de las cifras impares es un múltiplo de 11.

Divisibilidad por 7:10-p=10-3=7 $$n^*=3^ma_0+ \cdots +3a_{m-1}+a_m$$
Divisibilidad por 13:10+p=10+3=13
$$n^{**}=(-3)^ma_0+ \cdots -3a_{m-1}+a_m$$ La divisibilidad por 7 fue enunciada en el siglo XIII por Benalbana el Granatí. Veamos un ejemplo del criterio de divisibilidad por 7 aplicado de forma iterada al número 1547: $$[(1\cdot3+5)\cdot3+4]\cdot3+7=91$$ $$9\cdot 3+1=28$$ $$2\cdot 3+8=14$$ $$1\cdot 3+4=7$$
  • Del libro D'Alembert y Condorcet. Ricardo Moreno Castillo. La Matemática en sus personajes 51. Editorial Nivola.