Teorema de Bottama

Un grupo de piratas llega a una isla para enterrar un tesoro. En la isla hay una piedra y dos cocoteros. El capitán manda a dos piratas que partiendo desde la piedra caminen hasta un cocotero cada uno. Al llegar a los cocoteros giran 90º y caminan, alejándose uno del otro, la misma distancia que separa la piedra del cocotero en cada caso. El capitán entierra el tesoro en el punto medio de las posiciones alcanzadas por los piratas. Con el tiempo, los piratas vuelven a por el tesoro y encuentran los cocoteros, pero la piedra ya no estaba. Afortunadamente, el capitán conocía el teorema de Bottema y en pocos minutos señaló el lugar exacto donde estaba enterrado el tesoro.

El teorema afirma lo siguiente:

"Si dibujamos dos cuadrados con un vértice común y trazamos el segmento que une los vértices más distantes, el punto medio de este segmento no depende de la posición del vértice que une dichos cuadrados".

Se pueden modificar las posiciones de la piedra (P), los cocoteros (C) y el tesoro (T). Con las flechas se puede observar la construcción "paso a paso".

Para demostrar el teorema se construye un paralelogramo donde los puntos D y E son las proyecciones de los puntos B y A sobre el segmento que une los puntos donde se sitúan los cocoteros.

T es el punto medio de AB y por tanto TH es la base media del paralelogramo ABDE: $$TH=\frac{BD+AE}{2}$$ Por construcción $$\widehat{BC_2P}=90º$$ y por tanto los ángulos son complementarios: $$BC_2D=90º- PC_2G$$ Se deduce que los triángulos: $$BC_2D \wedge PC_2G$$ son rectángulos e iguales, y por tanto se verifica que: $$BD=C_2G$$ Razonando de manera análoga se cumple que: $$AE=GC_1$$ Sustituyendo en la fórmula inicial: $$TH=\frac{BD+AE}{2}=\frac{C_2G+GC_1}{2}=C_2H=HC_1$$ pues el triángulo rectángulo: $$TC_1C_2$$ es isósceles.Por tanto TH no depende de la posición de P.

Los piratas, partiendo de un punto cualquiera, situado en la zona donde escondieron el tesoro, repiten el proceso y lo encuentran ya que como indica el teorema de Bottema el punto de partida no influye para encontrar el tesoro. Hay una forma más rápida que sería situados un pirata en cada cococtero y girando 45º cada uno hacia la zona del tesoro, avanzar el mismo número de pasos hasta encontrarse y allí estaría el tesoro.